Problème A476 – Solution de Jean Drabbe
Nous traiterons le problème général obtenu en remplaçant 2010 par un naturel quelconque a et 2011 par a + 1 .
Supposons que x et y vérifient a • x^2 + x = (a+1) • y^2 + y et posons d = x – y .
Un calcul élémentaire montre que y^2 – 2 • a • d • y – (a • d^2 + d) = 0 . Le discriminant de cette équation en y est 4 • d • (a^2 • d + a • d+1) . Il faut évidemment que D = d • (a^2 • d + a • d+1) soit un carré parfait.
Oublions temporairement la situation triviale d = 0.
Comme les deux facteurs de D sont copremiers, on déduit que d est un carré parfait.
Soit 0 ≠ d = p^2 . L'exigence « D est un carré parfait » nous conduit à l'équation de Pell
u^2 – a • (a+1) • p^2 = 1 dont la solution primitive est (2 • a + 1 , 2) . La théorie classique de l'équation de Pell (bien connue des lecteurs de Diophante) montre que la plus petite valeur de p qui suit 2 est 4 • (2 • a + 1) .
Remarque – La théorie élémentaire des équations aux différences finies permet de montrer que la suite p[0] , p[1] , p[2] , .... des valeurs de p vérifie
p[n] = (4 • a+2) • p[n-1] + p[n-2] avec a[0] = 0 , a[1] = 2 .
Dans le cas a = 2010 , les trois premières valeurs de p sont 0 , 2 , 16084 .
