Problème A567 – Solution de Jean Drabbe
QUESTION 1 – Le problème peut être généralisé dans deux directions. Le nombre de termes des expressions peut être quelconque et les entiers naturels de 1 à 2013 peuvent être remplacés arbitrairement par d'autres.
Je me limiterai à une situation particulière dont la généralisation me paraît triviale.
Soient a , b , c , d quatre nombres réels racines carrées de nombres naturels.
Le produit P qui nous intéresse est alors le carré du produit des huit nombres suivants : (a + b + c + d) (a – b – c – d)
(a + b + c – d) (a – b – c + d) (a + b – c + d) (a – b + c – d) (a + b – c – d) (a – b + c + d) Par conséquent,
P = [a^2 – (b + c + d)^2] ^ 2 * [a^2 – (b + c – d)^2] ^ 2
* [a^2 – (b – c + d)^2] ^ 2 * [a^2 – (b – c – d)^2] ^ 2 . Regardons P comme polynôme en les indéterminées a , b , c , d . Il est clair que P doit être un polynôme symétrique. L'indéterminée a ne peut y apparaître qu'avec des exposants pairs. Il doit donc en être de même pour les autres indéterminées. Le calcul pour des valeurs numériques racines carrées d'entiers conduit dès lors à un entier.
QUESTION 2 – Notons Pyr (n) le n-ième nombre pyramidal carré,
a[i] la i-ème composante d'une suite de 2013 nombres réels satisfaisant à toutes les conditions imposées par l'énoncé.
Il est clair qu'aucune des composantes a[i] ne peut être négative. D'autre part, il n'est pas restrictif de supposer que la suite considérée soit croissante (effectuer, par exemple, un tri par bulles).
a[2013] ne peut être inférieur à 2013 (sinon, le changement de a[2013] en 2013 donnerait une suite admissible de somme plus grande que celle de la suite de départ).
Supposons a[2013] > 2013 . On doit alors avoir
a[1] ^2 + a[2]^2 + ... + a[2012]^2 < Pyr (2012) .
Changeons a[2012] en a[2012] + u et a[2013] en a[2013] – v où u et v
sont des nombres réels positifs vérifiant
a[1] ^2 + a[2]^2 + ... + a[2011]^2 + (a[2012] + u )^2 = Pyr (2012) et (a[2012] + u)^2 + (a[2013] – v)^2 = a[2012]^2 + a[2013]^2 . Comme v < u , on obtient, comme précédemment, une suite admissible de somme supérieure à celle de la suite de départ.
Conclusion : a[2013] doit être 2013 et par itération
pour tout i (1 ≤ i ≤ 2013) , a[i] = i . La somme recherchée est 2013 * 2014 / 2 = 2027091 .
