Problème E559 – Solution de Jean Drabbe NOTATIONS Pour a , b entiers, on note a | b la divisibilité de b par a . Soit

Problème E559 – Solution de Jean Drabbe

NOTATIONS

Pour a , b entiers, on note a | b la divisibilité de b par a . Soit E l'ensemble des suites formées de 6 naturels non nuls.

Lorsque S et T appartiennent à E ,

S ––> T signifie que T peut être obtenue à partir de S en remplaçant deux composantes de S par leur somme et leur produit ,

S ––>> T signifie qu'il existe une suite finie S[1] , S[2] , .... , S[k] d'éléments de E telle que S[1] = S , S[k] = T et pour tout i < k , S[i] ––> S[i+1] .

TRIVIALITES

Les trivialités suivantes simplifient considérablement les calculs.

Soient a , b deux naturels non nuls et p un premier.

Si p | a ^● b et p | (a + b) , alors p | a , p | b et p^2 | a ^● b . Si a + b > a ^● b , alors a = 1 ou b = 1 .

Si a + b = a ^● b , alors a = 2 et b = 2 .

LES IMPOSSIBILITES

Propriété 1 – [1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6] ne peut être une source de S¹ . Démonstration. Si 5 | (a + b) et 5 | a ^● b , on doit avoir 5 | a et 5 | b ,

si a ^● b = 153 , on ne peut avoir 5 | (a + b) (car 153 ≡ 3 mod 5 et 2 n'est pas un résidu quadratique modulo 5 ).

D'autre part, si a ^● b = 900 , la valeur de a + b la plus proche de 153 est atteinte lorsque {a , b} = {6 , 150} .

Il résulte de ces constatations que toute suite S appartenant à E telle que S ––>> [15 , 50 , 60 , 125 , 153 , 900] contient une composante 153 et cinq composantes divisibles par 5 .

.

Propriété 2 – [1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6] ne peut être une source de S³ .

Démonstration. Une argumentation semblable à celle utilisée pour la propriété 1 permet de montrer que toute suite S appartenant à E telle que

S ––>> [27 , 60 , 213 , 324 , 630 , 1960] contient une composante 1960 et cinq composantes divisibles par 3.

LE RETOUR A LA SOURCE

Voici une reconstitution d'étapes qui permettent d'obtenir S2 à partir de la source S0 (les couleurs indiquent les couples qui vont être transformés par la règle de descendance).

[1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6] ––>> [6 , 7 , 7 , 10 , 3 , 4] ––> [6, 7 , 7 , 7 ,10 , 12] ––>

[6 , 7 , 7 , 7 , 22 , 120] ––> [7 , 7 , 7 , 120 , 28 , 132] ––> [7, 7 , 120 , 132 , 35 , 196] ––>

[7 , 7 , 35 , 196 , 252 , 15840] ––> [7 , 35 , 252 , 15840 , 203 , 1372] ––>

[42 , 203 , 245 , 252 , 1372 , 15840] .

Il y a d'autres possibilités que celle indiquée qui conduisent de S0 à S2 .