On note d= PGCD a ; b et m=PPCM a ; b , ∗ ⇔ dm=b9 ⇔ dm – b=9

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Correction exercice TS spécialité Rechercher a et b entiers naturels tels que PGCD a ; bPPCM a ; b=b9 ∗

On note d= PGCD a ; b et m=PPCM a ; b , ∗ ⇔ dm=b9 ⇔ dm – b=9

Par définition de d , d∣b et comme m est un multiple de b , d∣m . D'après les propriétés sur la divisibilité,

^{d∣m – b}

.

Or d∣d et comme d∣ m – b , d∣dm – b ⇔ d∣9 .

Par conséquent, les valeurs de d sont soit 1, soit 3, soit 9.

Étude des cas :

Valeurs de d m× d= a×b (

PGCDa;b×PPCMa;b=ab

)

d=1 m= ab et

^∗

⇔ 1m=b9 ⇔ m= b8 ⇔ ab=b8 ⇔

ba –1=8

ba –1 =1×8

b=1 et a=9

convient car

PGCD a ; b=1

ba – 1=2×4 b=2 et a=5

convient car

PGCD a ;b =1

ba –1 =4×2 b=4 et a=3

convient car

PGCD a ; b=1

ba – 1=8×1 b=8 et a=2

ne convient pas car

PGCD a ; b=2

puisque

d=3

d=3 ,

b3 et a3 .

m× 3=ab et ∗ ⇔ 3m=b9 ⇔ 93 m=3b27 ⇔ b a −3 =18

ba−3=3×6

b=3 et a=9 convient car

PGCD a ; b=3

ba−3=6×3

b=6 et a=6

ne convient pas car PGCDa;b=6

ba−3=9×2

b=9 et a=5

ne convient pas car PGCDa;b=1

ba−3=18×1

b=18 et a=4

ne convient pas car PGCDa;b=2

d=9 m× 9=ab et ∗ ⇔ m= b ⇔ 9 m=9 b ⇔ ab =9 b ⇔ b a – 9 =0

b≠ 0

et

a=9

, comme

d=9

,

b

doit être un multiple de 9 donc

b=9 k

avec

k∈ℕ^∗.

b=0

et

a=9

car

d=9

en effet si

a =autre multiple de 9

,

PGCD a ;0≠9

En résumé, les solutions de

^∗

sont :

9;1

,

5;2

,

3;4

,

9;3

et

9;9k

avec k entier naturel.

(une infinité de solutions)