A489 – Echange de bons procédés (**** à la main)
Deux nombres premiers p et q font un échange de bons procédés : p divise q² + 8 de la même manière que q divise p² + 8. Trouver toutes les valeurs possibles du couple (p,q) avec la condition 2 ≤ p ≤ q ≤ 2013.
Pour les plus courageux : trouver au moins trois couples de nombres premiers p et q tels que p divise q² + 19 et q divise p² + 19.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
On a la solution triviale p = q = 2.
On suppose dans un premier temps p et q ≥ 1.
Comme p divise q² + 8 et q divise p² + 8, il en résulte que (p² + 8)(q² + 8) = npq avec n entier, ce qui entraîne 8(p² + q² + 8) = pq(n – pq) . D’où p² + q² + 8 = k pq avec k entier pair.
L’équation diophantienne p² – kqp + q² + 8 = 0 a des racines entières si son discriminant est un carré parfait, soit Δ = k²q² – 4q² – 32 = r²,ce qui revient à résoudre l’équation (kq + r)(kq – r) = 4(q² + 8).
La factorisation du membre de droite est de la forme 2²uαvβ.. avec u,v, ..facteurs premiers impairs.
On obtient ainsi deux équations de la forme kq + r = A et kq – r = B qui donnent 2kq = A + B avec les trois cas suivants :
A = 2(q² + 8) et B = 2 A = q² + 8 et B = 4
A = nombre impair et B = nombre pair (ou vice versa).
Comme 2kq est un nombre pair, A et B doivent être de même parité, ce qui n’est possible que pour A = 2(q² + 8) et B = 2 .
D’où k = (q² + 8)/q et les seules valeurs impaires de q qui rendent k entières sont q = 1 et q = 3.
On a alors deux cas à considérer k = 6 et k =10
1er cas : l’équation diophantienne p² – 6pq + q² + 8 = 0 a pour solution : p0 = 3 et q0 = 1
pn+1 = P pn + Q qn et qn+1 = R pn + S qn avec P = 6 , Q = -1, R = 1 et S = 0.
On obtient successivement les couples p₁= 17 et q₁ = 3 , p₂ = 99 et q₂ = 17 etc... Seul le couple (17,3) est à retenir car au moins un entier parmi les autres couples est composé.
n p q
0 3 1
1 17 3
2 99 17
3 577 99
4 3 363 577 5 19 601 3 363 6 114 243 19 601 7 665 857 114 243
2ème cas : l’équation diophantienne p² – 10pq + q² + 8 = 0 a pour solution : p0 = 1 et q0 = 1.
pn+1 = P pn + Q qn et pn+1 = R pn + S qn avec P = 10, Q = -1, R = 1 et S = 0
On obtient succesivement les couples p₁= 9 et q₁ = 1 , p₂ = 89 et q₂ = 9, p₃ = 881 et q₃ = 89 etc... Seul le couple (881,89) est à retenir.
n p q
0 1 1
1 9 1
2 89 9
3 881 89
4 8 721 881
5 86 329 8 721 6 854 569 86 329 7 8 459 361 854 569
Conclusion : 3 solutions (2,2) (17,3) et (881,89).
Q₂
Avec un tableur, on obtient aisément les couples (2,23), (5,11), (7,17), (19,19), (73,191),...(421493,1103483) comme solutions possibles
