8*m + 1 ) a et b sont des nombres entiers pour,entre autres, n = 0 et m = 2 ce qui donne p = 3 q a

A 489 Antoine Verroken

A. q^2 = -8 ( mod p ) (1)

p^2 = -8 ( mod q ) (2)

- loi de réciprocité quadratique :

(1) et (2) ont des solutions si le symbole de Legendre (-8/p)=(-1/p)(2/p)(4/p) = (-1/p)(2/p) = 1

- le symbole de Legendre est égal à 1 si :

p=8*n+3 et q=8*m+1 (3)

ou p=8*n+1 et q=8*m+1 (4)

(3)

(1) q^2 = a*p - 8 (2) p^2 = b*q - 8 (3)(1) a = ( 64*m^2 + 16*m + 9) / ( 8*n + 3 ) (3)(2) b = ( 64*n^2 + 48*n + 17) / ( 8*m + 1 )

a et b sont des nombres entiers pour,entre autres, n = 0 et m = 2 ce qui donne p = 3 q = 17

(4) (4)(1) a = ( 64*m^2 + 16*m + 9) / ( 8*n + 1 ) b = ( 64*n^2 + 16*n + 9 ) / ( 8*m + 1 )

a et b sont des nombres entiers pour, n = 11 et m = 110 p = 89 q = 881

- (1) et (2) ont aussi des solutions pour p = q = 2

- p q

3 17

89 881

2 2

B.

p^2 = -19 ( mod q ) (5)

q^2 = -19 ( mod p ) (6)

- le symbole de Legendre (-19/p)=(-1/p)(19/p)= 1 si

p = 4*n + 1 et q = 8*m + 3 (7)

ou p = 4*n + 3 et q = 8*n + 1 (8)

(7) a = ( 16*n^2 + 8*n + 20 ) / ( 8*m + 3 ) b = ( 64*m^2 + 48*m + 28 ) / ( 4*n + 1) a et b sont des nombres entiers pour n = 1 et m = 1 dont p = 5 q = 11

(8) a = ( 16*n^2 + 24*n 28 ) / ( 8*n + 1) b = ( 64*m^2 + 16*m + 20 ) / ( 4*n + 3 ) a et b sont des nombres entiers pour n = 1 et m = 2 dont p = 7 q = 17

- (5) et (6) ont aussi des solutions pour p = 19 et q = 19

- p q

5 11

7 17

19 19