La chèvre de Monsieur Seguin
Problème D263 de Diophante
Monsieur Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique
s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que, ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m2 d’herbe à brouter.Prouver qu’avec 80 mètres de clôture, Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
Solution
Pour une clôture fixée de 80 m, la plus grande surface possible s’obtient en traçant un demi-cercle de rayon 80/π (25,46 m) dont la surface vaut 1018,59 m2.
Approchons ce demi-cercle, par un demi polygone régulier de 2n côtés
O A
H π/2n
Ruisseau Prairie
Posons OA = r. Alors AH = r * sin(π/2n) et OH = r * cos(π/2n).
La clôture mesure e = 2 * n * AH = 2 * n * r * sin(π/2n) et la surface de l’enclos mesure n * AH * OH = n * r2 * sin(π/n) / 2. D’où la valeur minimale de r, fonction de n, pour 1000 m2 d’herbe : r = racine (2000 / n / sin(π/n)).
Pour n = 6, on trouve : r = 25,82 m ; e = 80,19 m2 et pour n = 7, on trouve : r = 25,66 m ; e = 79,94 m2.
Le nombre minimal de poteaux dont Monsieur Seguin a besoin.est 8.
