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(a) La probabilité pour qu’un point appartienne à D est Aire de D Aire de S = α 1 = α et on répète l’expérience N fois de manière indépendante

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2016–2017 Devoir maison no10 – mathématiques

Correction Exercice 1

1. (a) f est une fonction polynomiale de degré2, dont la courbe représentativeCest une parabole.

L’abscisse du sommet de la parabole est x= −b

2a = −4

2×(−4) = 1 2. D’autre part, a=−4<0 donc les branches sont tournées vers le bas.

On a alors le tableau de variations suivant : x

variations de f

0 1

2 1

0 0

1 1

0 0 (b)

(c)

x y

O 1

1 On obtient α = 2

3 avec la calculatrice.

2. Pour queM appartienne à Dil faut que y6f(x), car le point doit être situé en dessous de la courbe C.

3. (a) La probabilité pour qu’un point appartienne à D est Aire de D Aire de S = α

1 = α et on répète l’expérience N fois de manière indépendante. Le nombre de succès X suit alors la loi binomiale de paramètres n =N et p=α.

(b) On a E(X) =np=N α.

(2)

4. Cet algorithme demande une valeur deN puis fait l’expérience décrite précédemment. À chaque fois que le point est dans le domaine, l’algorithme ajoute 1 à un compteur u qui démarre à 0.

La valeur finale de u est alors celle de la variable aléatoire X.

L’algorithme affiche alors la fréquence X

N, soit une valeur approchée de p=α.

Avec une calculatrice on obtient A= 0,68 ouA= 0,632 (par exemple).

5. Pour obtenir un nombre choisi aléatoirement dans un intervalle [a,b], on peut faire la chose suivante : (b−a)RAN DOM+a.

6. (a) L’expressiong(x) = x2−4x+ 5 est polynomiale de degré 2.

L’abscisse du sommet est ici x= −b

2a = 2, et a = 1>0.

Donc :

x

variations de g

2 5

1 1

10 10

(b) Voici l’algorithme que l’on peut proposer pour β = Z 5

2

g(x)dx : SaisirN

SaisirA SaisirB SaisirM

uprend la valeur 0

PourI allant de 1 àN Faire

x prend la valeur(B−A)×RANDOM+A y prend la valeurM×RANDOM

Siy 6g(x) Alors

u prend la valeuru+ 1 FinSi

FinPour

A prend la valeur u

N ×(B −A)×M Afficher A

On rappelle que la probabilité d’être dans le domaine vaut Aire de D Aire de S.

Il faut donc multiplier la fréquence par l’aire du domaineSdans lequel on prend les points.

On prend N = 500, A= 2, B = 5 et M = 10 (maximum de g sur[2; 5]).

On obtient par exemple 12,12ou11,7.

La valeur exacte est 12.

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