B135. 4 entrées pour un carré 4x4. ***. Problème proposé par Francis Gaspalou
Soit un carré magique 4 x 4 qui utilise les entiers de 1 à 16 et dont la somme des 4 lignes, des 4 colonnes et des 2 diagonales principales est égale à 34.
Les positions des entiers 1, 6, 8 et 15 sont connues :
Sans l'aide d'un quelconque automate, déterminer les positions des douze autres entiers.
La seule solution est
On a dans le tableau ci-contre a + b = 25
Somme qui n’est possible qu’avec 9 + 16 ou 11 + 14.
Cela laisse 4 possibilités : A, B, C, D (ci-dessous)
Pour A : c + d = 6 qui n’est possible qu’avec 2 + 4 Cas c = 2 et d = 4 (Figure A1)
On a e + f = 26 ce qui est impossible car toutes les sommes font intervenir un nombre déjà utilisé.
Cas c = 4 et d = 2 (Figure A2)
On a e + f = 24 ce qui n’est possible qu’avec 10 + 14 ou 11 + 13 e = 10 implique f = 14 qui implique h + i = 4. Impossible.
e = 14 implique g = 9. Impossible.
e = 11 implique g = 12. Impossible.
e = 13 implique f = 11 mais alors h + i = 7 est impossible.
1 6 15 12 11 16 5 2
8 3 10 13 14 9 4 7
1 6 15 12 a
8 b
1 6 15 12
9 d
8 c 16
1 6 15 12
16 d
8 c 9
1 6 15 12
11 d
8 c 14
1 6 15 12
14 d
8 c 11
1 6 15 12 9 e 4 8 2 16 f
1 6 15 12 9 e 2 g 8 4
16 f h i
A B C D
Figure A1
Figure A2
Pour B : c + d = 13 qui n’est possible qu’avec 2 + 11 ou 3 + 10
Cas c = 2 et d = 11 (Figure B1)
On a e + f = 26 ce qui est impossible car toutes les sommes font intervenir un nombre déjà utilisé.
Cas c = 11 et d = 2 (Figure B2)
On a e + f = 15 qui n’est possible qu’avec 5 + 10.
Dans le premier cas (Figure B21) g = 12 est impossible.
Dans le second cas (Figure B22) g + h = 23 est impossible car toutes les sommes font intervenir un nombre déjà utilisé.
Cas c = 3 et d = 10 (Figure B3) On a e + f = 8 qui est impossible.
Cas c = 10 et d = 3 (Figure B4) On a h = 16 – g = i. Impossible.
1 6 15 12 16 e 11
8 2 9 f
1 6 15 12
16 2
8 11 e f 9
1 6 15 12
16 2
8 11 5 10
9 g
1 6 15 12 16 g 2
8 11 10 5
9 h
1 6 15 12 16 e 10 f
8 3 9
1 6 15 12 16 e 3 f
8 10 g h
9 i
Figure B1
Figure B2
Figure B21 Figure B22
Figure B3
Figure B4
Pour C : c + d = 8 qui n’est possible qu’avec 3 + 5
Cas c = 3 et d = 5 (Figure C1)
Étudions les places possibles du nombre 2.
Si e = 2 alors i = 23 est impossible.
Si f = 2 alors e = 16 qui implique i = 9
Mais alors, la seule position du nombre 4 est case j D’où la solution ci-dessous
Si g = 2 alors h = 21 est impossible.
Si h = 2 alors g = 21 est impossible.
Si i = 2 alors e = 23 est impossible.
Si j = 2 alors g = 12 est impossible.
Si k = 2 alors e + g = 31 est impossible.
Cas c = 5 et d = 3 (Figure C2)
Étudions les places possibles du nombre 2.
Si e = 2 alors i = 21 est impossible.
Si f = 2 alors e = 18 impossible.
Si g = 2 alors h = 19 est impossible.
Si h = 2 alors g = 19 est impossible.
Si i = 2 alors e = 21 est impossible.
Si j = 2 alors g = 14 est impossible.
Si k = 2 alors e + g = 31 est impossible.
Pour D : c + d = 11 qui n’est possible qu’avec 2 + 9 ou 4 + 7.
Cas c = 2 d = 9 (Figure D1)
On a e + f = 24 ce qui est impossible car toutes les sommes font intervenir un nombre déjà utilisé.
1 6 15 12 11 e 5 f
8 3 g h 14 i j k 1 6 15 12
11 16 5 2 8 3 10 13 14 9 4 7
1 6 15 12 11 e 3 f
8 5 g h 14 i j k
1 6 15 12
14 9
8 2 e f 11
Figure C1
Solution
Figure C2
Figure D1
Cas c = 9 d = 2 (Figure D2)
On a f = 17 – e = g ce qui est impossible.
Cas c = 4 et d = 7 (Figure D3)
On a e + f = 24 ce qui est impossible car toutes les sommes font intervenir un nombre déjà utilisé.
Cas c = 7 et d = 4 (Figure D4)
Étudions la place possible du nombre 2.
Si e = 2 alors i = 19 est impossible.
Si f = 2 alors e = 14 impossible.
Si g = 2 alors h = 17 est impossible.
Si h = 2 alors g = 17 est impossible.
Si i = 2 alors e = 19 impossible.
Si j = 2 alors g = 13 implique h = 6 ce qui est impossible.
Si k = 2 alors e + g = 31 ce qui est impossible.
1 6 15 12
14 2
8 9 e f
11 g
1 6 15 12 14 e 7
8 4 11 f
1 6 15 12 14 e 4 f
8 7 g h 11 i j k Figure D2
Figure D3
Figure D4
