B
135. 4 entrées pour un carré 4x4
Problème proposé par Francis Gaspalou
Soit un carré magique 4 x 4 qui utilise les entiers de 1 à 16 et dont la somme des 4 lignes, des 4 colonnes et des 2 diagonales principales est égale à 34.
Les positions des entiers 1,6,8 et 15 sont connues:
Sans l'aide d'un quelconque automate, déterminer les positions des douze autres entiers.
Solution proposée par Maurice Bauval :
En ligne 1 et colonne 4 il faut nécessairement 12 .
Il reste 11 inconnues. Nous avons 9 équations : 3 pour les lignes, 4 pour les colonnes et 2 pour les diagonales, mais seulement 8 équations indépendantes. Le nombre d'inconnues principales est 11 – 8 = 3 Si on prend comme inconnues principales les trois premiers nombres de la ligne 2, et tenant compte de toutes les conditions on obtient :
1 6 15 12
a b c 34-(a+b+c)
8 a-c-3 37-a-b b+c-8
25-a -a-b+c+31 a+b-c-18 a-4
Les entiers encore disponibles sont 2,3,4,5,7,9,10,11,13,14,16
Les seules couples d'entiers encore disponibles pour une somme égale à 25 sont (16,9) et (14,11).
Donc a ⋲ {16,14,11,9}. De plus a=16 impliquerait a – 4 = 12 la colonne quatre contiendrait deux fois 12.
Donc a ⋲ {14,11,9}
Si a = 14 :
1 6 15 12
14 b c -b-c+20
8 11 – c 23 – b b+c – 8
11 -b+c+17 b – c – 4 10
Les entiers encore disponibles sont 2,3,4,5,7,9,10,13,16. On va choisir c :
Les seules couples d'entiers encore disponibles pour une somme égale à 11 sont (2,9) et (4,7) Si c = 2 ou c = 9
1 6 15 12 1 6 15 12
14 b 2 18 - b 14 b 9 11 - b
8 9 23 - b b - 6 8 2 23 - b b+1
11 19 - b b – 6 10 11 26 - b b – 13 10
c≠2 car c=2 conduit à deux nombres égaux ligne 3 colonne 4 et ligne 4 colonne 3.
Les entiers encore disponibles sont 3,4,5,7,13,16.
Il n'existe aucun couple d'entiers encore disponibles ayant pour somme 26, donc c≠9.
Les deux cas restant à étudier sont a= 11 ou a=9 Si a = 11 :
1 6 15 12
11 b c 23 – b – c
8 8 – c 26 – b b+c – 8
14 20 – b +c b – c – 7 7
Les entiers encore disponibles sont 2,3,4,5,9,10,13,16
Le seul couple d' entiers encore disponibles ayant pour somme 8 est (3,5) Si c=3 ou c=5
1 6 15 12 1 6 15 12
11 b 3 20 – b 11 b 5 18 – b
8 5 26 - b b – 5 8 3 26 - b b – 3
14 23 – b b – 10 7 14 25 – b b – 12 7
Les entiers encore disponibles sont 2,4,9,10,13,16 (à gauche comme à droite) Si a=11 et c=3 (à gauche)
Quels couples d' entiers encore disponibles ont pour somme 20, 23, ou 26 ?
20 : (16,4) ; 23 : (13,10) ; 26 : (16,10) aucun nombre b ne figure à la fois dans ces trois couples.
Aucune solution avec a=11 et c=3 Si a=11 et c=5 (à droite)
Quels couples d' entiers encore disponibles ont pour somme 18, 25, 26 ? 18 : (16,2) et (13,5) 25 : (16,9) 26 : (16,10)
Seul 16 convient à la fois pour une somme égale à 18, 25 et 26 :
Avec a=11, b=16, et c=5 c'est une solution, on verra plus loin que c'est que c'est la seule.
1 6 15 12
11 16 5 2
8 3 10 13
14 9 4 7
Dernier cas a=9
1 6 15 12
9 b c 25 – b – c
8 6 - c 28 – b b+c – 8
16 22 – b+ c b – c – 9 5
Les entiers encore disponibles sont 2,3,4,7,10,11,13,14
Seul couple d' entiers disponibles pour une somme égale à 6 : (2,4).
Si c=2 ou c=4 :
1 6 15 12 1 6 15 12
9 b 2 23 – b 9 b 4 21 – b
8 4 28 - b b – 6 8 2 28 - b b – 4
16 24 – b b – 11 5 16 26 – b b – 13 5
Les entiers encore disponibles sont 3,5,9,10,13,16 (à gauche comme à droite)
On ne peut en extraire un couple de somme 24 donc c≠2, ni un couple de somme 28 donc c≠4.
Ni le cas a=9 et c= 2 , ni le cas a=9 et c=4 ne procure de solution.
L'unicité est démontrée.
