A403 - Carré, cube, puissance 4ème & co… en progression arithmétique
Solution
Il s’agit de trouver a (>0) le premier terme de la série et r (<0 ou >0) raison de la progression arithmétique tels que :
...
- Avec une séquence de trois termes, il y a une infinité de solutions. Il suffit de choisir un carré et un cube plus grand que ce carré de telle sorte que la différence entre les deux termes qui est égale à la raison soit inférieure au carré. D’où les séquences : 5,16,27 ou 34,49,64.
- Pour obtenir une séquence de quatre termes, il s’agit de résoudre les équations diophantiennes :
Si l’on balaye toutes les valeurs possibles de y et z comprises entre 1 et 1000, on obtient les solutions suivantes :
1) x = 13, y = 5 et z = 4 qui donne la progression arithmétique 213, 169, 125 et 81 dont la raison est égale à – 44.
2) x = 300, y = 50 et z = 20 qui donne la progression arithmétique 55 000, 90 000, 125 000 et 160 000 dont la raison est égale à 35 000.
- Une séquence de cinq termes a été découverte par John Robertson aux USA et s’exprime ainsi : la raison est égale à , le premier terme est égale à la raison et la séquence est définie par . Il a aussi prouvé qu’il n’y avait aucune solution pour les séquences de longueur > ou = 6.
