B135. 4 entrées pour un carré 4x4 Problème proposé par Francis Gaspalou
Soit un carré magique 4 x 4 qui utilise les entiers de 1 à 16 et dont la somme des 4 lignes, des 4 colonnes et des 2 diagonales principales est égale à 34.
Les positions des entiers 1,6,8 et 15 sont connues:
Sans l'aide d'un quelconque automate, déterminer les positions des douze autres entiers.
Solution proposée par l’auteur
Je suppose connue la répartition de tous les carrés magiques ordre 4 en 12 groupes de Dudeney : cf http://www.magic-squares.net/order4list.htm#The%2012%20Groups Il n’y a que 12 groupes possibles pour les paires complémentaires (somme égale à 17).
Je cherche à placer le nombre 16 (complément de 1). D’après la classification de Dudeney, je vois que le nombre 16 ne peut être qu’en B2 (*) et que le carré ne peut être que du groupe II de Dudeney (tous les autres groupes conduisent à des impossibilités).
Par ailleurs, sur la première ligne, 3 nombres sont connus, d’où le 4ème A4 = 12. La première ligne étant donnée, j’en déduis la deuxième par l’opération « complément à 17 ».
Sur la première colonne, je vois alors que 3 nombres sont connus, d’où le 4ème D1 = 14. La première colonne étant donnée, j’en déduis la deuxième par l’opération « complément à 17 ».
La somme des 4 coins A1+A4+D1+D4 est 34 (autre résultat bien connu qui se démontre facilement), d’où D4 = 34-A1-A4-D1 = 7. D’où le reste du carré.
Pour ceux qui veulent en savoir plus, voici le site de Hans-Bernhard Meyer : http://www.hbmeyer.de/backtrack/kerne/ke.htm
Hans-Bernhard Meyer a prouvé que le « nombre de Dieu » des carrés magiques ordre 4 est 3 (nombre minimum de chiffres donnés conduisant à une solution unique). Je rappelle que pour le Sudoku, le nombre de Dieu est 17 (résultat connu depuis le 1er janvier 2012).
(*) J’utilise la notation classique des carrés magiques A1 A2 A3 A4
B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 D4
