B132. La Mélancolie de Dürer
Problème proposé par Francis Gaspalou
La Mélancolie est le nom donné à une gravure sur cuivre d'Albrecht Dürer datée de 1514. Sur cette gravure, figure un carré magique, dont la valeur est 34 avec les nombres 15 et 14 en positions d2 et d3 de la grille 4 * 4 ci-après :
Q1: Combien de carrés magiques normaux d’ordre 4 distincts A. Dürer aurait-il pu graver en maintenant le millésime 1514 en position d2-d3.
Q2 Pour les plus courageux : combien y a-t-il de carrés magiques normaux d’ordre 4 distincts dans lesquels on peut lire le millésime 1514 à l’horizontale dans deux cases adjacentes?
Nota: deux carrés magiques sont distincts dès lors qu’il existe au moins une case qui a la même position dans les deux carrés et qui contient deux nombres différents.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On remarquera qu’il existe beaucoup de transformations qui, appliquées à un carré magique, donnent un carré qui est encore magique ; les rotations et les symétries, bien sûr mais aussi les échanges des lignes (lignes a-d et lignes b-c) ou des colonnes (colonnes 1-4 et colonnes 2-3) ou mixtes (lignes a-d et colonnes 1-4) ; ou encore lignes b-c et colonnes 2-3, ce qui laisse inchangé le millésime 1514... Profitant de ce fait on peut abréger la recherche des solutions pour Q2 : par exemple le nombre de carrés avec millésime en ligne a coïncide avec le nombre de carrés avec millésime en ligne d.
Un petit programme peut aider la recherche. Pour ne pas gaspiller du temps (temps-machine, mais aussi notre temps pour attendre le résultat !) il convient de remarquer qu’on peut choisir les valeurs à insérer dans les cases dans d1, d2, d3 (ce qui force d4), c1, c2, c3 (ce qui force c4) et a1.Toute autre valeur reste fixée et on doit uniquement contrôler qu’on a utilisé les nombres de 1 à 16, sans répétitions.
Pour ce qui concerne Q1 on trouve 32 carrés.
Pour ce qui concerne Q2, on trouve : - 26 carrés avec millésime en d1-d2
- 32 carrés avec millésime en d2-d3 (voir supra) - 30 carrés avec millésime en d3-d4
pour un total de 88 carrés magiques avec millésime en ligne d.
Il y a donc aussi 88 carrés magiques avec millésime en ligne a).
Par ailluers on trouve :
- 30 carrés magiques avec millésime en c1-c2, - 24 carrés magiques avec millésime en c2-c3 - 26 carrés magiques avec millésime en c3-c4
pour un total de 80 carrés magiques avec millésime en ligne c (et donc 80 carrés magiques avec millésime en ligne b).
Le total général est donc de 336 carrés magiques.
Remarque Le carré magique de Dürer est « encore plus » magique qu'escompté: les nombres contenus dans chacun des quatre carrés ayant un sommet sur un sommet du carré ont aussi une somme égale à 34 et pour 192 des 336 carrés qui gardent le millésime cette super-magie reste valable.
