B138. Carré magique géométrique Problème proposé par Michel Lafond
Justifier l’existence d’un carré "magique" pouvant être partagé par 4 segments en 9 quadrilatères dont les aires sont exactement 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Figure approximative :
Solution (paresseuse) proposée par Claudio Baiocchi
On va d’abord se poser la question : pourquoi travailler avec les nombres au lieu que ?
Une première réponse immédiate est qu’on aurait dû travailler sur un carré dont l’aire vaut , ce qui correspond à un côté irrationnel (naturellement pour le problème proposé le côté du carré vaut 27) ; et il y a pourtant une deuxième raison qu’on va détailler, généralisant un peu.
Tout carré magique, après rotations et/ou symétries, est de la forme décrite dans la partie gauche de la figure, pour un choix convenable des paramètres et (dans notre problème on a ) ; pour « traduire géométriquement » le carré numérique, ainsi que montré dans la partie droite de la figure où les valeurs représentent les aires des quadrilatères, on aura besoin d’un carré de
côté ; donc on travaillera avec qui est un carré, et on imposera aussi de façon à travailler avec des entiers positifs.
En particulier on ne peut pas travailler directement avec les nombres ; mais rien n’empêche d’essayer avec un multiple de ce carré magique ; par exemple 5 fois ces nombres peuvent être insérés dans un carré de côté 15 (ce qui correspond à ) ; toutefois la démarche qu’on va suivre montrera que ce problème n’a pas de solutions.
On remarquera que les « propriétés magiques » du carré se traduisent géométriquement en imposant que les segments partageants le carré passent par les points marqués en bleu ; points dont les
coordonnées, par exemple dans le carré , sont et . Inversement, si l’on partage le carré par des segments passant par ces points, il suffira d’imposer les aires voulues aux quatre « quadrilatères de coin » : les valeurs des aires des autres quadrilatères seront
automatiquement satisfaites.
On a donc besoin d’une formule pour l’es aires des quadrilatères de coin ; un calcul immédiat montre que si, ainsi qu’il se passe dans la figure, on a affaire avec un quadrilatère convexe la formule est la suivante :
On va maintenant continuer en utilisant le logiciel geogebra. Profitant du fait que, dans les dernières versions, on a la possibilité d’utiliser fonctions de plusieurs variables, on posera :
et l’équation décrit le lieu des points tels que l’aire du quadrilatère vaut 6. Plus en général les quatre équations :
fournissent les lieux des points qui engendrent un quadrilatère d’aire 6, 8, 12 et 10 près des autres sommets.
Il ne reste qu’à écrire la définition et les quatre équations ; dans la figure le premier lieu est tracé en rouge et, à partir d’un point sur ce lieu, on a construit comme intersection du deuxième lieu avec la droite joignant à : et sont construits de façon analogue ; les aires écrites en bleu sont là juste pour un contrôle :
Par ailleurs on contrôle aisément que le problème géométrique admet solutions pour d’autres valeurs du couple ; mais que le choix n’admet pas de solutions.
REMARQUES FINALES
Assez, fini de tricher : après passage de à via , de à via et de à via , on a deux possibles procédés pour conclure : ou bien on passe de au point de départ , mais rien n’assure qu’on passe par , ou bien on prolonge la droite de à , et rien n’assure qu’on revient au point de départ.
La chose devient plus évidente si, au lieu de travailler fixant la précision à 2 chiffres après la virgule (c’est la démarche prévue dans Geogebra) on demande une précision majeure : déjà pour un seul point variant sur la courbe rouge on n’obtient qu’une valeur proche de 6 : la technique des lieux qu’on vient d’utiliser est « trop paresseuse » !!!
Naturellement on soupçonne bien qu’une solution devrait se trouver aux alentours de ce qu’on vient de dessiner. Par ailleurs la figure est très instable par rapport aux déplacements de mais,
travaillant avec 15 chiffres, on voit que les valeurs de l’aire des obtenus par les cycles approchés varient de à , puis encore à ; ce qui mène à soupçonner
l’existence d’au moins 2 solutions exactes.
