B125 – La multiplication des petits…carrés magiques
Solution
Carré magique 9x9 à partir d’un carré magique 3x3 constitué à partir des entiers 1 à 9.
Soit un carré magique 3x3 C(3,3) constitué avec les entiers de 1 à 9. Chacune des 9 cases est repérée par une couleur différente :
Pour remplir le carré magique 9x9, on va dans un premier temps le découper en neuf carrés 3x3 qui seront coloriés à l’identique du carré C(3,3) :
Dans un deuxième temps, on recopie dans chacun des neuf carrés tous les entiers de 1 à 81.
Ainsi dans le premier carré à remplir situé en haut et au milieu et de couleur vert clair, on reproduit le carré magique 3x3, puis dans le carré situé en bas à droite de couleur orange (couleur numérotée 2 dans le carré magique 3x3) tous les entiers de 10 à 18 en respectant l’ordre de placement du carré magique 3x3, puis dans le carré situé au milieu de la 1ère
colonne de couleur turquoise tous les entiers de 19 à 27, toujours en respectant le même ordre de placement. Et ainsi de suite … On obtient le carré suivant :
8 1 6
3 5 7
4 9 2
On vérifie par les nombres qui sont situés sur la colonne extérieure à droite et sur la ligne du bas et par les deux nombres situés dans le prolongement des diagonales principales que la somme des termes d’une ligne ou d’une colonne ou d’une diagonale principale est toujours égale à 369.
Carré magique 8x8 à partir d’un carré 2x2 constitué à partir des entiers 1 à 4.
Le carré 2x2 constitué des entiers de 1 à 4 ne peut pas être magique. Les deux configurations qui s’en rapprochent le plus avec la même somme des termes en colonne (ou en ligne) sont les suivantes :
La somme des colonnes donne 5, celle des lignes respectivement dans le premier colorié en gris 4 et 6 et dans le second 6 et 4. La somme des termes diagonaux donne respectivement 3 et 7 puis 7 et 3. En empilant ces deux motifs en quatre colonnes où gris et blanc alternent à l’intérieur d’un carré 8x8, on observe que la « magie » réapparaît :
1 3 4 2
4 2 1 3
En effet la somme des termes en ligne est égale à 40 comme celle des termes en colonne et celle des termes diagonaux.
En combinant ces carrés ainsi disposés avec un vrai carré magique d’ordre 4 pris comme patron, on arrive facilement au carré 8x8 recherché.
Les carrés 4 x4 sont légion. Prenons par exemple l’un d’eux :
On réplique la couleur des cases dans un carré 8x8 partagé en 16 « sous-carrés » de
dimensions 2x2, les nombres attachés à chaque couleur seront les coefficients multiplicateurs des termes des carrés 2x2 destinés à être logés à l’intérieur de chaque sous-carré :
Puis on juxtapose la grille ‘gris-blanc’ des carrés 2x2 et on obtient la grille suivante :
1 12 7 14 8 13 2 11 10 3 16 5 15 6 9 4
On vérifie par les nombres qui sont situés sur la colonne extérieure à droite et sur la ligne du bas et par les deux nombres situés dans le prolongement des diagonales principales que la somme des termes d’une ligne ou d’une colonne ou d’une diagonale principale est toujours égale à 260.
