A -Carré magique 3 x3 dont les termes sont inférieurs ou égaux à 9

B126 – Quelques propriétés d’un carré magique

Solution

A -Carré magique 3 x3 dont les termes sont inférieurs ou égaux à 9

Dans un carré magique 3 x 3 dont les neuf termes sont compris entre 1 et 9, les huit

relations qui expriment l’égalité des sommes des termes en ligne et en colonne et de la somme des termes situés sur le diagonales principales sont les suivantes:

a + b + c = s d + e + f = s g + h + i = s a + d + g = s b + e + h = s c + f + i = s a + e + i = s c + e + g = s

L’addition des trois premières relations entraîne que a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3s = 45. D’où s= 15

En additionnant les 2^ème, 5^ème, 7^ème et 8^ème relations, on obtient (a + b + c + d + e + f + g + h + i) + 3e = 4s. D’où e = 5

Question n°1

En retranchant e=5 de tous les termes du carré magique et en tenant des relations précédentes, le carré magique initial devient :

Aux signes près les trois termes de la 1^ère ligne et de la 3^ème ligne sont identiques et la somme de leurs carrés est donc la même.

Or (a5)²(b5)²(c5)²a²b²c²10(abc)75 = a²b²c²-75.

De la même manière (g5)²(h5)²(i5)²g²h²i²75 On en déduit a² b²c² g²h²i².

Par permutation des lignes et des colonnes, on obtient la deuxième identité

2 2 2 2 2

2 d g c f i

a      .

Question n°2

Toujours en partant du carré transformé, on constate que la somme des produits 2 à 2 des termes de la 1^ère et de la 2^ème lignes est égale à la somme des produits 2 à 2 des termes de la 2^ème et de la 3^ème lignes. En effet : (a-5)(d-5) + (c-5)(5-d) = (d-5)(5-c) + (5-d)(5-a) = ad - cd – 5a + 5c.

Or (a-5)(d-5) + (b-5)(e-5) + (c-5)(f-5) = ad + be + cf – 5(a+b+c+d+e+f) + 75 = ad + be + cf – 75.

De la même manière (d-5)(g-5) + (e-5)(h-5) + (f-5)(i-5) = dg + eh + fi - 75

a b c d e f g h i

a b c a-5 b-5 c-5

d e f d-5 0 5-d

g h i 5-c 5-b 5-a

On en déduit ad + be + cf = dg + eh + fi puis avec le même raisonnement pour la somme des produits 2 à 2 des 1^ère et 2^ème colonnes et celle des 2^ème et 3^ème colonnes, ab + de + gh = bc + ef + hi.

Questions n°3 et 4

On vérifie aisément que les propriétés précédentes entraînent l’égalité de la somme des carrés des nombres lus en ligne de gauche à droite et celle des carrés des nombres lus en ligne de droite à gauche.

En effet :

(100a10bc)²(100c10ba)²9999(a²c²)1980b(ac) f) - 1980e(d )

f 9999(d d)

10e (100f f)

10e

(100d  ²   ² ² ² 

i) - 1980h(g )

i 9999(g g)

10h (100i i)

10h

(100g  ²   ² ² ² 

L’addition de ces trois identités fait apparaître au second membre

9999(a²d²g² (c²f²i²)) + 1980(ab + de + gh – bc – ef – hi) = 0

Même démarche pour démontrer que la somme des carrés des nombres lus en colonne de haut en bas est égale à celle des carrés de nombres lus en colonne de bas en haut.

Application numérique

On part du carré magique ci-après :

6 7 2 1 5 9 8 3 4

On vérifie que 6²7²2²898²3²4² puis 6*1 + 7*5 + 2*9 = 59 = 1*8 + 5*3 + 9*4 et enfin 672²159²834²276²951²438²1172421

ainsi que 6²1²8²1012²9²4²puis 6*7 + 1*5 + 8*3 = 71 = 7*2 + 5*9 + 3*4 et enfin 618²753²294²816²357²492²1035369

B -Carré magique dont les termes peuvent être supérieurs à 9

Si les termes du carré magique sont choisis parmi les entiers naturels positifs de 1 à N avec N10, toutes les propriétés précédemment analysées restent vraies. En effet la somme des tous les termes choisis S doit être telle que s=S/3 et e= s/3, c’est à dire e =N/9. N doit donc être divisible par 9. Dès lors en retranchant e des 9 termes du carré magique on obtient un carré dont le terme central est nul et tous les termes symétriques l’un de l’autre par rapport au centre sont égaux en valeur absolue et de signes opposés. Les démonstrations précédentes restent valables avec 5 remplacé par S/9.

Application numérique N=14

On part du carré magique suivant dans lequel la somme de tous les termes est égal à 90.D’où

s=30.

On vérifie que 11²12²7²31413²8²9² puis 11*6 + 12*10 + 7*14 = 284 = 6*13 + 10*8 +14*9 et enfin 1227²714²1389² 831²1506²993²3944646 etc

11 12 7 6 10 14 13 8 9

C -Carré magique 4 x 4

Pour les carrés magiques 4 x 4, la pérennité des propriétés 1) et 2) demeure mais pour la première il faut considérer la somme des termes des deux premières lignes qui est égale à la somme des termes des deux dernières lignes.

On a a²b²c²d²e²f²g²h²i²j²k²l²m²n²o²p² et ae + bf + cg + dh = im + jn + ko +lp.

A l’inverse les 3^ème et 4^ème propriétés ne sont plus vraies.

Application numérique

On considère le carré magique ci-après constitué de tous les entiers compris entre 1 et 16. La somme de tous les termes est égale à 136. D’où s=136/4 = 34.

On vérifie que 1²12²7²14²8²13²2²11²748 et 748

4 9 6 15 5 16 3

10² ² ² ² ² ² ² ²

Par ailleurs 1*8 + 12*13 + 7*2 + 14*11 = 10*15 + 3*6 +16*9 + 5*4 = 332 Enfin on constate que la 3^ème propriété n’est plus vraie :

Mai 2007

Pierre Gineste nous propose la généralisation suivante :

On a l'habitude de prendre des carrés magiques en utilisant les nombres de 1 à 9. Peut-on généraliser les relations indiquées dans le problème sans cette contrainte?

1/ existe-t-il des carrés magiques 3x3 (somme des nombres par ligne, par colonne, par diagonale constante), les nombres étant des entiers quelconques, positifs, nuls ou négatifs, tous différents?

2/ vérifient-ils les relations indiquées?

Solution

1/ Hormis les carrés magiques classiques, on a des solutions triviales formées par ajout d'un même nombre aux nombres du carré magique.

Reprenons le problème à zéro.

Li, Cj, Dk représentent la somme des nombres situés respectivement dans la ligne n° i (i=1,2,3), dans la colonne n°j (j=1,2,3), dans la diagonale n°k (k=1,2).

a b c d e f g h i j k l m n o p

1 12 7 14 8 13 2 11 10 3 16 5 15 6 9 4

nombres lus gauche à

droite

carrés

nombres lus droite à gauche

carrés

2284 5216656 14821 219662041

9331 87067561 11338 128550244

10465 109516225 6640 44089600

15694 246301636 4975 24750625

total 448102078 417052510

Appelons s la somme commune par ligne, par colonne, par diagonale.

Ecrivons l'égalité C2 + L2 + 2(D1 + D2) = 6s Explicitons:

(b + e + h) + (d + e + f) + 2((a + e +i) + (g + e + c)) = 6s

Après avoir opérer les regroupements tells que (a+d+g=s), on obtient: s = 3e Choisissons b et d comme inconnues. Avec e, cela en fait 3.

De L2, on déduit: f = 2e – d De C2, on déduit: h = 2e – b

L1: a + b + c = 3e C1: a + d + g = 3e D2: g + e + c = 3e

D’où:

a = 2e – (b + d)/2 c = e – (b - d)/2 g = e + (b - d)/2

enfin: (L3): i = (b + d)/2

Notons que b et d doivent être de même parité.

On a obtenu le carré magique le plus général:

2e – (b + d)/2 b e – (b - d)/2

d e 2e – d

e + (b - d)/2 2e – b (b + d)/2 pour e = 5 b = 7 d = 1 on retrouve notre carré magique habituel:

6 7 2

1 5 9

8 3 4

pour e = 6 b = 3 d = 1 on trouve un autre carré magique réalisé avec une suite de nombres non successifs:

10 3 5

1 6 11

7 9 2

Vérifions l'égalité: X1 = X1' avec X1 = a² + b² + c² , X1' = g² + h² + i² X1 = a² + b² + c² = (3b² + d²)/2 – e(3b + d) + 5e²

X1' = g² + h² + i² = (3b² + d²)/2 – e(3b + d) + 5e² = X1 CQFD. De plus, on a ainsi la valeur de l'expression.

De même, on a l'égalité:

a² + d² + g² = c² + f² + i² = (b² + 3d²)/2 – e(b + 3d) + 5e²

Vérifions l'égalité: Y1 = Y1' avec Y1 = ad + be + cf et Y1' = dg + eh + fi Y1 = d[2e-(b+d)/2]+be+(2e-d)[e-(b-d)/2] = - b² + 2eb + 2e²

Y1' = d[e+(b-d)/2]+e(2e-b)+(2e-d)(b+d)/2

D’où : Y1 – Y1' = 0

CQFD. De plus, on a ainsi la valeur de l'expression.

De même, on a l'égalité:

ab+ de + gh = bc + ef + hi = - d² + 2ed + 2e²