D10414. Carré plié
On plie un carré ABCD selon une sécante oblique, en sorte d’amener le sommet C en M sur le côté DA. Le segment BC vient en LM qui coupe AB en K.
Montrer que le cercle inscrit au triangle AKM a un rayon égal à KL.
Solution
Le triangle AKM a un angle droit en A, donc les longueurs des tangentes menées deAau cercle exinscrit dans l’angleAet au cercle inscrit sont égales aux rayons de ces cercles ; or elles valent respectivement le demi-périmètre du triangle et le demi-périmètre diminué deKM.
La distance deCàLM est symétrique de la distance deM àBC, c’est donc le côté du carré, et le cercle de centreC et de rayonCBest le cercle exinscrit dans l’angleA. Le demi-périmètre est la longueur des tangentes ABetAD, égale àBC etLM. Diminué deKM, c’est la longueur des tangentes menées de Aau cercle inscrit et le rayon du cercle inscrit, CQFD.
