Des cercles dans un carré
Problème D245 de Diophante
Dans un carré de côté 80, je trace des cercles dont la longueur totale des
circonférences est égale à 2008. Montrer qu’il existe une droite qui coupe au moins 8 d’entre eux.
Solution
Notons P, Q, R, S les sommets du carré et, pour tout point x de PQ, notons Vx la perpendiculaire en x à PQ.
Un cercle c tracé dans le carré se projette sur PQ selon un segment noté AcBc, dont la longueur est celle d’un diamètre de c, donc π fois moindre que celle de la circonférence de c.
Notons Fc la fonction définie sur PQ par :
Fc(x) = si Ac ≤ x ≤ Bc alors 1 sinon 0 Ac Bc c
P Q
S R
x Vx
Autrement dit : Fc(x) vaut 1 lorsque Vx coupe c et 0 dans le cas contraire.
Soit ∆(x) la somme des Fc(x) lorsque c parcourt l’ensemble C de tous les
cercles tracés dans le carré. Cette valeur est entière et indique le nombre de cercles de C que coupe la verticale Vx.
La fonction ∆ est manifestement constante par morceaux : ceux définis par tous les points Ac et Bc.
L’intégrale I de ∆ est la somme des intégrales des Fc, c’est-à-dire la somme des diamètres des cercles de C, soit 2008 / π ≠ 639,2 (< 640).
Puisque PQ mesure 80, la moyenne de ∆ vaut presque 8 est du fait que les valeurs sont entières certaines sont nécessairement au moins égales à 8.
Soit x un point tel que ∆(x) ≥ 8 alors la droite Vx coupe au moins 8 des cercles tracés.
De manière imaginée, on pourrait considérer que le cercle c est un nuage qui arrose AcBc de manière uniforme. Ainsi Fc(x) vaut 1 lorsque x est arrosé par c et 0 sinon. La valeur ∆(x) indique la hauteur d’eau tombée en x et l’intégrale I indique la quantité d’eau tombée sur PQ.
