2nd10 DS 2 Correction : Repr´esentation graphique de fonctions et vecteur 20 novembre 2018
Exercice 1 : Echauffement (15 minutes) (3 points)
1. simplifier √1
2 2. R´esoudrex2−2x= 0
3. (a) Compl´eter x2−18x= (x· · ·)2− · · · (b) En d´eduire les solutions dex2−18x+ 17 = 0
Solution:
1. √1
2 =
√ 2 2
2. Le solutions sont 0 et 2 3. x2−18x= (x−9)2−81.
x2−18x+ 17 = (x−9)2−81 + 17 = (x−9)2−64 = (x−9−8)(x−9 + 8) = (x−17)(x−1).
Les solutions sont 1 et 17
Exercice 2 : Petit probl`eme avec des vecteurs (20 minutes) (81/2 points) Remarque : 2~u=~u+~u. De mˆeme 2−−→
AB=−−→ AB+−−→
AB et 2−→
AC =−→
AC+−→
AC Soit ABC un triangle.
On d´efinit les points D etE par :
−−→ AD=−−→
AB+ 2−→
AC et−→
AE = 2−−→ AB+−→
AC.
C
B
A
Partie A : Graphiquement 1. Placer les pointsE etD.
2. Que peut-on conjecturer sur le quadrilat`ere BCDE.
Solution:
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1.
C
B
A
D
E
K
2. On conjecture queBCDE est un parall´elogramme et mˆeme un rectangle.
Partie B : Un cas particulierOn se place dans un rep`ere orthonorm´e (O;I;J). On suppose queA(−4; 4), B(2; 6) et C(0,0).
1. Montrer queABC est un triangle isoc`ele enB.
2. D´eterminer les coordonn´ees de−−→
AB et de −→
AC.
3. D´eterminer les coordonn´ees de~u=−−→
AB+ 2−→
AC
4. En d´eduire les coordonn´ees deD. (On admettra que les coordonn´ees de E sont (12; 4)) 5. En d´eduire que queCBED est un parall´elogramme.
6. D´eterminer les coordonn´ees du pointK tel queABKC est un parall´elogramme.
7. Montrer queK est le milieu de [BD].
Solution:
1. AB2 = (2 + 4)2+ (6−4)2 = 36 + 4 = 40 et BC2= 22+ 62 = 40 doncABC est isoc`ele en B 2. Les coordonn´ees de−−→
AB sont (6; 2) et−→
AC −44 .
3. Les coordonn´ees de~u sont (6 + 4 + 4; 2−4−4) donc (14;−6).
4. On a −−→ AD −614
. Soient (x;y) les coordonn´ees deD. Les coordonn´ees de −−→
ADsont (x+ 4;y−4).
(x+ 4 = 14 y−4 =−6 ssi
(x= 10 y =−2 Les coordonn´ees deD sont (10;−2).
5. −−→ BC −2−6
et −−→
ED 10−12−2−4
donc−−→ BC =−−→
ED doncCBEDest un parall´elogramme.
6. Soient (x;y) les coordonn´es deK, on a −−→
BK x−2y−6 . ABKC est un parall´elogramme ssi−→
AC =−−→
BK ssi
(x−2 = 4
y−6 =−4 ssi
(x= 6 y = 2 . On a K(6; 2).
7. −−→
BK −44
et−−→
KD −44 .−−→
BK =−−→
KD doncK est le milieu de [BD].
2nd10 DS 2 Page 3 de 4 Partie C : Cas g´en´eral
On se place dans un cas g´en´eral (on ne peut plus utiliser les coordonn´ees de la partie B).
Montrer queBCDE est un parall´elogramme.
Solution: On peut utiliser un rep`ere (A;B;C). On peut alors reprendre les questions de l’exercice pr´ec´edent.
On peut aussi remarquer que −−→
ED=−−→
AE+−−→
AD=−2−−→ AB−−→
AC+−−→
AB+ 2−→
AC=−−−→ AB+−→
AC =−−→ BC.
Donc CBEDest un parall´elogramme.
Exercice 3 : ´Etude graphique (20 minutes) (81/2 points)
Partie A : ´Etude graphique
f est une fonction d´efinie sur [0; 10] par f(x) = 2x3−19x2 + 80x dont on se donne la repr´esentation graphique suivante.
Sauf indication contraire, on r´epondra aux questions graphiquement. On justifiera sur le graphique les r´eponses.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100 200 300 400 500 600 700 800 900
0
Cf
1. Quelle est l’image de 2 parf? 2. R´esoudref(x) = 200. 3. R´esoudref(x)<200 4. Soitg la fonction d´efinie sur [0; 11] parg(x) = 50x
(a) Repr´esenter graphiquementg(x) (b) Quelle est l’image de 2 par g
(c) R´esoudref(x) =g(x)
(d) R´esoudref(x)>g(x)
(e) R´esoudrealg´ebriquementf(x)=g(x)
Solution:
1. L’image de 2 est 100
2. La solution def(x) = 200 est 5,5
2nd10 DS 2 Page 4 de 4 3. L’ensemble de solution de f(x)<200 est [0; 5,5[
4. (a) Voir graphique ; (b) L’image de 2 est 100 ;
(c) Les solutions de f(x) =g(x) sont 0, 2 et 7,5 ; (d) L’ensemble des solutions est [0; 2]∪[7,5; +∞[
(e) f(x) =g(x) ssi 2x3−19x2+ 80x= 50x ssi 2x3−19x2+ 30x= 0 ssi 2x(x2−192x+ 15) = 0 ssi x= 0 ou x2−192x+ 15 = 0.
x2−192x= (x− 194)2−36116.
Donc x2−192 + 15 = (x−194 )2−12116 = (x−194 −114 )(x− 194 +114) = (x−7,5)(x−2).
Les solutions de l’´equation sont 0, 2 et 7,5.
Partie B : Application
Dans cet exercice, on pourra utiliser les r´esultats de la partie A sans justifier
Un fournisseur de pain propose au cuisinier du lyc´ee Alexandre Dumas une offre en fonction de la quantit´e de pain achet´ee. Les petits pains sont vendus par centaine. Le prix des pains (en e) en fonction de la quantit´e de petits pains achet´ees est exprim´e par la fonctionf(x) = 3x3−19x2+ 80x (o`u xest le nombre de centaines de pains achet´es).
D’autre part, le boulanger du coin de la rue vend ses pains `a 50 centimes l’unit´e.
On suppose que les qualit´es de pains sont ´equivalentes.
1. Expliquer pourquoi le prix de la boulangerie peut ˆetre exprimer par g(x) 2. Quel est le prix de 200 petits pains avec le fournisseur ? Avec le boulanger ?
Quel est le plus interessant ?
3. Quelles quantit´es de pains peut-on acheter pour payer moins de 200 euros avec le fournisseur ? 4. Quelles quantit´es de pains peut–ˆetre achet´es pour le mˆeme prix chez le fournisseur et le chez le
boulanger ?
5. Pour quelles quantit´es de pains est-il plus int´eressant d’acheter chez le boulanger ? Solution:
1. Un pain vaut 50 centimes, 100 pains valent donc 50 euros. La fonction correspondante est donc g(x) = 50x.
2. le prix de 200 petits pains avec le fournisseur est f(2) donc 100 euros et avec le boulanger est g(2) = 100 euros
3. On peut en acheter entre 0 et 550 pains.
4. Le fournisseur et le boulanger ont le mˆeme prix si on ach`ete 0, 200 et 750 pains.
5. Si on ach`ete entre 0 et 200 pains ou entre 750 et 1000 pains, il est plus interessant d’acheter chez le boulanger.
