D622 Carré sur la circonférence d’un cercle [*** à la main]

D622 Carré sur la circonférence d’un cercle [*** à la main]

Solution

Daniel Collignon a observé que le casse-tête se résout très simplement avec deux constructions bien connues :

1) construction au compas seul du centre d’un cercle donné. Cette construction, connue sous le nom de problème de Napoléon-Mascheroni, fait l’objet de nombreuses références sur Internet (par exemple :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Napol%C3%A9on et http://serge.mehl.free.fr/anx/constr_napo.html )

2) toujours avec le seul compas, construction des quatre sommets d’un carré sur la circonférence d’un cercle dont on connaît la position du centre et donc le rayon. Cette construction est également décrite par plusieurs sites Internet (par exemple :

http://serge.mehl.free.fr/anx/constr_carr.html ) Reprenons succinctement chacune d’elles :

1) Soit un cercle (C) dont on ignore la position du centre et le rayon R. Voir ci-après le cercle en trait plein noir.

Soit un point A sur la circonférence de ce cercle. Un premier cercle 1 (en rouge) de rayon d suffisamment grand mais n’excédant pas le diamètre de (C) coupe (C) en P et P’. Les cercles 2 et 2’ de centres P et P’ et de rayon d, tracés en bleu, se coupent en A et en un deuxième point B. Le cercle 3 en vert de centre B et de rayon BA coupe le cercle 1 en deux points Q et Q’. Enfin les cercles 4 et 4’ de centres Q et Q’ et de rayon QA=QA’ se coupent en A et en un deuxième point O qui est le centre recherché du cercle (C).

Justification : dans le parallélogramme APBP’, les diagonales AB et PP’ se coupent au point I milieu de AB. Si R est le rayon inconnu du cercle (C’), on a AP² d²= 2R*AI, d’où AB =

2AI=

R d²

. Par ailleurs dans le parallélogramme AQOQ’, les diagonales AO et QQ’ se coupent en J milieu de AO et l’on a AQ² AJ*diamètredu cercle3 = AJ*2AB . D’où AO = 2AJ =

AB AQ²

= R d d

2 2

= R. CQFD.

Il est amusant de signaler qu’il existe une deuxième construction du centre d’un cercle tout à fait distincte de celle de Napoléon-Mascheroni, qui est disponible sur de sites anglo-saxons et ne porte pas le nom d’un quelconque empereur: http://www.cut-the-

knot.org/do_you_know/compass13.shtml. Elle est assez laborieuse et à notre avis moins élégante que celle que nous venons de décrire.

2) Soit un cercle (C) dont on connaît le centre O et le rayon R pris égal à 1 par convention.

Avec le compas seul, on construit à partir d’un point A quelconque de la circonférence de (C), les points E,F et C sur cette même circonférence tels que AE = EF = FC = 1. Les points A et C sont diamétralement opposés sur (C) et constituent les deux premiers points du carré. Les cercles de centre A et C et de rayons AF = CE = 3 se coupent en P et Q.

La distance OP est telle que OP²AP²12. D’où OP = 2 qui est la dimension du côté du carré inscrit dans (C). Il suffit alors de prendre avec le compas un écartement égal à OP et de tracer les arcs de cercle de centre A et de rayon 2 qui coupent (C) en B et D qui sont les deux derniers points recherchés du carré ABCD.