B142- Carré S&P magique
Les neuf entiers positifs distincts a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 remplissent les neuf cases d’un carré 3 x 3 de sorte que :
- les produits des entiers sur une même ligne sont tous égaux au même entier P,
- les sommes des entiers sur une même colonne sont tous égaux à un même nombre S qui est le plus petit nombre premier possible,
- aucun de ces entiers n’est un carré parfait.
Déterminer la liste des neuf entiers et prouver qu’elle est unique.
Solution proposée par Raymond Bloch.
La somme S est un nombre premier impair : chaque colonne ne pouvant pas contenir trois nombres impairs distincts (*) est donc formée de deux nombres pairs et d’un nombre impair. Les nombres impairs les plus petits sont 3, 5 et 7, chacun devant figurer sur chaque ligne comme facteur de P, dont au moins un sous la forme du plus petit multiple impair possible (**).
Les produits P doivent contenir les facteurs 2,3,5 et 7 avec les plus petits exposants possibles. L’exposant de 2 est au moins 2, sinon la somme de chaque triplet horizontal est paire. Donc P est le plus petit multiple possible de 22x3x5x7=420. Pour chaque valeur P essayée, on cherche une décomposition en 9 facteurs premiers dont la somme est égale à 3S, le triple d’un nombre premier. On constate qu’aucune solution n’est possible si S ≤ 31. L’élimination des carrés parfaits 1,4,9,16,…nous prive de solutions comportant des petites valeurs pour S et P, et donc pour les neuf nombres de la grille. P=420 ne conduit à aucune solution.
Finalement, le plus petit P donnant une solution est P=840, avec le plus petit S=37 , avec cette unique liste de 9 nombres distincts sans aucun carré :
2 x 21 x 20 = 840
+ + +
7 x 10 x 12 = 840
+ + +
28 x 6 x 5 = 840
37 37 37
(*) Si les neuf nombres de la grille étaient tous impairs, sans carré parfait, les produits P possibles seraient supérieurs à 840.
(**) L’alternative avec 3, 5 et 15 n’aboutit pas.
