E115. Un impair, deux pairs, trois impairs...
Pour tout entier n>1,notons an le nième terme de cette suite, (bn) la suite 1,2,2, . . . , n, . . . , n
| {z }
n
, . . . ,(cn) la suite définie parcn =an+bn et tn= n(n+1)2 .
Des relationsatn = atn−1+ 1 + 2 (n−1) avec a1 = 1 et btn =btn−1+ 1 avec b1= 1,il découle que atn=n2 etbtn=n.
Pour tout entier 16k6n+ 1,nous avons alors atn+k =n2+ 1 + 2 (k−1) et btn+k =btn+ 1 =n+ 1. Ainsictn = 2tn et ctn+k = 2 (tn+k) et donccn = 2n.
Sachant que t62 = 1953 et t63 = 2016, nous en déduisons a2009 = at62+56 = 622+ 1 + 2 (56−1) et donc a2009= 3955
Explicitonsbn en fonction den: bl=n+ 1 ssi n(n+1)2 + 16l 6 (n+1)(n+2)2 ssi n+122
<2l < n+322
puisquen(n+ 1) + 16= 2lpar parité. D’où√
2l−12 <
n+1<√
2l+12et doncn+1 =j
1 2+√
2lk
.Finalement an= 2n−1 2+√
2n
1
