TS spécialité Correction Devoir maison 1 2012-2013
Étant donné un entier natureln>2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturelsx,yetztels que : x2+y2+z2≡2n−1 (2n)
I Partie A : Étude de deux cas particuliers
1. n= 2. Le triplet (1; 3; 5) est solution. (vérification laissée au lecteur) 2. Dans cette question, on supposen= 3.
(a) mest un entier naturel.
Sim≡r(8) alorsm2≡r2(8).Rétant le reste dans la division euclidienne de m2par 8, on a : r2≡R(8)
r 0 1 2 3 4 5 6 7
R 0 1 4 1 0 1 4 1
(b) Peut-on trouver trois entiers naturelsx, y etz tels quex2+y2+z2≡7 (8) ? D’après ce qui précède,x2,y2et z2sont congrus à 0,1 ou 4 modulo 8.
Pour obtenirx2+y2+z2 ≡7 (8), l’un au moins doit être congru à 4 modulo 8. Or aucune combinaison comportant 4 ne conduit à 7 (4+0+0=4, 4+1+0=5 et 4+1+1=6). On ne peut donc pas trouver de triplet (x, y, z) d’netiers naturels vérifiantx2+y2+z2≡7 (8).
II Partie B : Étude du cas général où n > 3
Supposons qu’il existe trois entiers naturelsx, y etz tels quex2+y2+z2≡2n−1 (2n) 1. Le nombre 2n−1 est impair.
• Supposons les trois nombresx, y etz tous les trois pairs. On a doncx2+y2+z2≡0 (2), contradiction avec le fait que 2n−1 est impair.
• Supposons que l’un est pair et les deux autres sont impairs. On obtient x2+y2+z2≡0 (2), ce qui signifie quex2+y2+z2 est pair. Impossible d’après la remarque précédente.
Les trois nombres sont donc tous les trois impairs ou 1 impair et deux pairs.
2. On suppose quexety sont pairs et quezest impair. On pose alorsx= 2q,y= 2r,z= 2s+ 1 oùq, r, ssont des entiers naturels.
(a) x2+y2+z2= (2q)2+ (2r)2+ (2s+ 1)2=....= 4Q+ 1 doncx2+y2+z2≡1 (4).
(b) On pose N = x2 +y2+z2. En préambule de la partie B, on a N ≡ 2n −1 (2n) ce qui implique que N ≡ −1 (2n) et assure l’existence d’un nombreK∈Ztel queN = 2nK−1. D’après la question précédente, on a égalementN = 4Q+ 1, d’où l’écritutre de l’égalité :
⇔2nK−1 = 4Q+ 1
⇔2nK−4Q= 2
⇔4(2n−2K−Q) =2
Or commen >3,n−2>1 et2n−2K−Q∈Z. Ainsi l’égalité précédente est impossible d’où la contradiction.
3. On suppose quex, y, zsont impairs.
(a) Pour tout entier naturel k non nul, k2+k est divisible par 2. En effet, soitk, soit k+ 1 est pair donc le produit l’est aussi.
(b) x2+y2+z2= (2q+ 1)2+ (2r+ 1)2+ (2s+ 1)2=....= 4(q2+q+r2+r+s2+s) + 3 = 4(2l+ 2m+ 2p) + 3 = 8(l+m+p) + 3 doncN ≡3 (8). (en effet, d’après la question précédente, q2+q= 2l , r2+r= 2m et
s2+s= 2p).
De façon identique à la question B.2.b, on obtient :
⇔2nK−1 = 8Q+ 3
⇔2nK−8Q= 4
⇔8(2n−3K−Q) =4
Or commen >3,n−3>0 et2n−3K−Q∈Z. Ainsi l’égalité précédente est impossible d’où la contradiction.
Ainsi seul pourn= 2, il existe trois entiersx,y et zentiers naturels tels que :x2+y2+z2≡2n−1 (2n)
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