TS spécialité Devoir maison 1 2012-2013
Étant donné un entier natureln>2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturelsx,yetztels que : x2+y2+z2≡2n−1 (2n)
I Partie A : Étude de deux cas particuliers
1. Dans cette question, on supposen= 2. Montrez que 1,3 et 5 satisfont à la condition précédente.
2. Dans cette question, on supposen= 3.
(a) mest un entier naturel. Recopiez et complétez le tableau ci-dessous donnant le resterde la division eucli- dienne dempar 8, et le reste Rde la division euclidienne dem2 par 8.
r 0 1 2 3 4 5 6 7
R
(b) Peut-on trouver trois entiers naturelsx, y etz tels quex2+y2+z2≡7 (8) ?
II Partie B : Étude du cas général où n > 3
Supposons qu’il existe trois entiers naturelsx, y etz tels quex2+y2+z2≡2n−1 (2n)
1. Justifiez le fait que les trois entiers naturelsx, y et zsont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.
2. On suppose quexety sont pairs et quezest impair. On pose alorsx= 2q,y= 2r,z= 2s+ 1 oùq, r, ssont des entiers naturels.
(a) Montrer quex2+y2+z2≡1 (4) (b) Déduisez-en une contradiction.
3. On suppose quex, y, zsont impairs.
(a) Prouver que, pour tout entier naturelknon nul,k2+kest divisible par 2.
(b) Déduisez-en quex2+y2+z2≡3 (8). Concluez.
Aide:
1. SiN≡2n−1 (2n)alorsN ≡ −1 (2n) 2. Trois entiers naturels sont :
• soit tous les trois impairs ;
• soit tous les trois pairs ;
• soit un pair et deux impairs ;
• soit un impair et deux pairs ;
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