Pour tous entiers naturels n et m, on pose :

PanaMaths Mai 2014

Pour tous entiers naturels n et m, on pose :

( )

1

, 0 ⁿ

1

I

= ∫ t − t dt

1. Déterminer une relation de récurrence entre I

et I

. 2. Calculer I

pour tous entiers naturels n et m.

Analyse

La récurrence s’obtient facilement via une intégration par parties. On tire ensuite partie de cette relation pour se ramener au calcul d’une intégrale simple …

Résolution

Question 1.

On a, pour tous entiers naturels n et m : I_n+1,_m=

∫

(

)

Telle que posée, la question suggère que nous procédions à une intégration par parties en posant :

• ^{f t}

( )

( ) (

)

• ^{g t'}

( ) (

)

( )

(

)

1

g t t m

m

= − − +

+ .

Il vient alors :

( )

( )

1 1

1, 0

1 1 1

0

1

1 1

1

n m n m

n m

I t t dt

t t

m

+ +

+ +

= −

⎡ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣ × −⎜⎝ + − ⎟⎠⎥⎦

∫

( ) ( )

( )

1 1

0

1 1

0

, 1

1 1 1

1

1 1

1 1 1

n m

n m

n m

n t t dt

m

n t t dt

m n I m

+

+

+

⎛ ⎞

− + × −⎜⎝ + − ⎟⎠

= + −

+

= + +

∫

∫

PanaMaths Mai 2014

Finalement :

( )

, , 1

n m 1 n m

n m I n I

+ m +

∀ ∈ = +

` +

Question 2.

En tenant compte de la relation précédente, on a, pour tous entiers naturels n et m :

, 1, 1 2, 2 3, 3

,0

1 1 2

1 1 2 1 2 3

...

1 2 1

1 2 3 ...

n m n m n m n m

n m

m m m m m m

I I I I

n n n n n n

m m m

n n n n mI

+ − + − + −

+

− − −

= = × = × ×

+ + + + + +

=

− −

= × × ×

+ + + +

On a :

( ) ( )

1 2 1 ! ! !

... !

1 2 3 !

!

m m m m m n

n m

n n n n m n m

n

− −

× × × = =

+ + + + + + .

Par ailleurs : ,0 0¹

( )

0

1 1

1 1 1

n m n m n m

In m t t dt t dt t

n m n m

+ + + +

+ =

∫

∫

Finalement :

( ) ( ) ( )

,

! ! 1 ! ! 1

! 1 1 !

1

n m

m n m n

I n m n m n m n m

n m

n

= × = =

+ + + + + ⎛ + ⎞

+ + ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

( ) ( ) ( )

2 ,

! ! 1

, ,

1 ! 1

n m

n m I m n

n m n m

n m

n

∀ ∈ = =

+ + ⎛ + ⎞

+ + ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

`