Calcul d’une intégrale
On a
F(a) = Z π/2
0
ln(1 +acosx)
cosx =
(π2
8 −arccos2 2a sia∈]−1,1[
π2
8 +argch22a sia >1 .
L’intégrande est continue pour a > −1 (prolongeable par continuité en π2), donc l’intégrale existe bien.
On introduit f : (a, x) 7→ ln(1+acoscosx x), prolongée en π/2. f est dérivable par rapport à a de dérivée
1
1+acosx et qui est donc continue sur[0,π2]. On peut donc dériver sous l’intégrale et obtenir
F0(a) = Z π/2
0
dx 1 +acosx.
Cette intégrale se calcule facilement en posantu= tan2t.On obtient alors F0(a) =
Z 1
0
1 1 +a1−u1+u22
2 1 +u2 =
Z 1
0
2
(1 +a) + (1−a)u2. On distingue ensuite selona.
– Si a∈]−1,1[, on peut écrirea= cos(2θ)avecθ∈]0, π/2[, d’où F0(a) =
Z 1
0
du
cos2θ+u2sin2θ = 1 cos2θ
Z 1
0
du
1 + tan2θ = 2 sin(2θ)
Z tanθ
0
dv
1 +v2 = 2θ sin 2θ. Ainsi,
F0(a) = arccosa
√1−a2 et F(a) =F(0) + Z a
0
arccosx
√1−x2 = π2
8 −arccos2a
2 .
F étant continue en 1, un passage à la limite montre queF(1) = limx→1−F(x) = π82. – Si a >1, on écrita= 2 coshθavecθ >0. Alors
F0(a) = Z 1
0
du
cosh2θ−u2sinh2θ = 1 cosh2
Z 1
0
du
1−u2tanh2θ = 1 cosh2θ
Z tanhθ
0
dv
1 +v2 = 2θ sinh 2θ. Ainsi,
F0(a) = argcha
√a2−1 donc F(a) =F(1) + Z a
1
argchx
√x2−1 =π2
8 +argch2a
2 .
1
