Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de math´ematiques 3
Ann´ee 2006-2007 Module 319
Calcul des r´ esidus
Dur´ee : 2 heures (documents non autoris´es) Exercice 1 :
a) Rappeler la formule int´egrale de Cauchy.
b) En utilisant cette formule et en d´eveloppant en ´el´ements simples la fraction rationnelle concern´ee, calculer les int´egrales suivantes
I = I
Γ
dz
(z2+ 1)(z−1)(z−2) , J = I
Γ
sinz
(z2+ 1)(z−1)(z−2)dz sur le chemin ferm´e Γ, dans le sens direct, dans les deux cas suivants :
i) Γ est le rectangle de sommets−1±2iet 3±2i.
ii) Γ est le triangle de sommets−1±2iet 32.
Exercice 2 : Soitf la fonction m´eromorphe surCd´efinie par
f(z) = 1
z2−5z+ 6.
Donner le d´eveloppement en s´erie de Laurent de f dans les 3 domaines C1 = {z ∈ C ; |z| < 2}, C2 ={z∈C; 2<|z|<3}etC3={z∈C; 3<|z|}(On pourra faire une d´ecomposition en ´el´ements simples).
Exercice 3 : D´eterminer les pˆoles (avec leur ordre de multiplicit´e) des deux fonctions suivantes : 1
sinz+ 1 et z
chz. Calculer les r´esidus correspondants.
Exercice 4 :
a) Calculer l’int´egrale curviligne H
Cz+1
z dz lorsque C est le cercle d’´equation x2+y2−6x+ 8 = 0 orient´e dans le sens direct.
b) Calculer par la m´ethode des r´esidus les int´egrales Z 2π
0
dθ
3−2 cosθ+ sinθ ,
Z +∞
−∞
dx
x2−2x+ 2 et
Z +∞
−∞
dx x2+ 2x+ 2.
1
