Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de math´ematiques 3
Ann´ee 2008-2009 Module LM 319
Calcul des r´ esidus
Le 12/12/2008.
(documents non autoris´es)
Exercice 1 : D´evelopper en s´eries de Laurent les fonctions suivantes : a) f(z) = 1
z2(z−3)2 au voisinage de z = 3, c’est `a dire dans une couronne C(3, ρ1 = ǫ, ρ2 = 0), avecǫ petit (resp. au voisinage dez= 0).
b) e2z
(z−1)3 au voisinage dez= 1.
Exercice 2 : Trouver les r´esidus de
f(z) = z2−2z (z+ 1)2(z2+ 4) au pˆole doublez=−1 et aux pˆoles simplesz= 2iet z=−2i.
Exercice 3 :
a) Montrer que Z +∞
−∞
x2
(x2+ 1)2(x2+ 2x+ 2)dx= 7π 50. b) Calculer (en posantz=eiθ) l’int´egrale
Z 2π 0
cos 3θ 5−4 cosθdθ.
Exercice 4 : Calculer l’int´egrale Z +∞
0
dx (x+ 1)√
x en utilisant le chemin ferm´e C = Γ+∪[B′A′]∪ γ−∪[AB], avecd([A′B′],[AB]) =d,
R
A A’
B B’
(Γ )+
(γ )−
−r
et en faisant tendreR→+∞,ǫ→0, d→0.
