Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de math´ematiques 3
Ann´ee 2006-2007 Module 319
Calcul des r´ esidus
Dur´ee : 2 heures (documents non autoris´es) Exercice 1 : Calculer les int´egrales curvilignes
I = I
Γ
dz
(z2+z+ 1)(z−3) , J = I
Γ
cosz
(z2+z+ 1)(z−3)dz sur le chemin ferm´e Γ, dans le sens direct, dans les deux cas suivants :
a) Γ est le rectangle de sommets−1±2iet 4±2i.
b) Γ est le triangle de sommets−1±2iet 32.
Exercice 2 : Soitf la fonction m´eromorphe surCd´efinie par
f(z) = 1
z2−7z+ 10.
Donner le d´eveloppement en s´erie de Laurent de f dans les 3 domaines C1 = {z ∈ C ; |z| < 2}, C2 = {z ∈ C ; 2 < |z| < 5} et C3 = {z ∈ C ; 5 < |z|} (On pourra effectuer auparavant une d´ecomposition en ´el´ements simples).
Exercice 3 : D´eterminer les pˆoles (avec leur ordre de multiplicit´e) des deux fonctions suivantes : 1
cosz+ 1 et tanz.
Calculer les r´esidus correspondants.
Exercice 4 :
a) Calculer l’int´egrale curviligne H
Cz2+1
z dz lorsqueC est le cercle d’´equation x2+y2−2y−3 = 0 orient´e dans le sens direct.
b) Calculer par la m´ethode des r´esidus les int´egrales Z 2π
0
dθ
sinθ+ cosθ+ 1 ,
Z +∞
−∞
dx
x2−3x+ 3 et
Z +∞
−∞
dx x2+ 3x+ 3.
1
