Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de math´ematiques 3
Ann´ee 2007-2008 Module 319
Calcul des r´ esidus
Le 14/12/2007.
Dur´ee : 2 heures.
(documents non autoris´es)
Exercice 1 : Soit Q : R2 → R l’application (x, y) 7→ cos(x) sh(y). D´eterminer P(x, y) tel que la fonction
f(x+iy) =P(x, y) +iQ(x, y) soit holomorphe dansC.
Exercice 2 : D´eterminer les pˆoles (et l’ordre de multiplicit´e) ou les points singuliers essentiels isol´es des fonctions :
a) 1
z4+ 1, b) 1
(z2+z+ 1)2, c) 1
sinz, d) z
shz, e) 1
(ez+ 2)2, f)e1/z2. Exercice 3 : Calculer
I = 1 2iπ
I
γ
e1/z z−1dz
o`uγ d´esigne le cercle de centre 0 et de rayon R, en distinguant les cas 0< R <1 et R >1.
Exercice 4 : Soita etbdeux nombres r´eels avec b >0. Calculer l’int´egrale J =
Z +∞
0
logx (x+a)2+b2dx en utilisant le contour ci-apr`es de param`etres 0< r <p
a2+b2 < Ret la fonction z7→ (logz)2
(z+a)2+b2,
la d´etermination du log ´etantL0(z) = log|z|+iarg(z), 0≤arg(z)<2π.
R
A A’
B B’
(Γ )+
(γ )−
−r
1
