Sorbonne Université 2M211 Intégrale de Lebesgue sur R
n2019-2020
Groupe 2 -Devoir no1
Exercice 1. Soient a < b deux réels, ainsi que f : [a, b] −→ R+ une fonction continue. Donner la définition des sommes de Riemann associées àf, et illustrer sur un dessin.
Exercice 2. Calculer les limites des suites ci-dessous lorsquentend vers l’infini : 1)un= n√1n
n
P
k=1
√
k, 2)un=
n
P
k=1 n+k n2+k2.
Exercice 3. Calculer l’intégrale suivante :
Rπ/4
0 xcos2(x) dx .
Exercice 4. Soit(An)n une suite croissante d’ensembles mesurables deRd. Montrer que la suite(λ(An))n converge dansR+ vers la mesure de∪nAn.
Exercice 5. Soient a < bdeux réels et fn : [a, b]−→Rune suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction continuef, c’est-à-dire vérifiant
kf−fnk∞ = sup
x∈[a,b]
|f(x)−fn(x)| −→
n→+∞ 0 Montrer que l’on a
n→+∞lim Rb
a fn(x) dx = Rb
a f(x) dx .
Ce résultat est-il vrai pour une suite fn de fonctions continues sur un segment [a, b]convergant simplement vers une fonction continue f?
