Sorbonne Université 2M211 Intégrale de Lebesgue sur R

Sorbonne Université 2M211 Intégrale de Lebesgue sur R

2019-2020

Groupe 6 -Devoir n^o1 - Corrigé

Exercice 1. Soient a < b deux réels, ainsi que f : [a, b] −→ R+ une fonction continue. Donner la définition des sommes de Riemann associées àf, et illustrer sur un dessin.

Pour tout entier naturel non nuln, la somme de RiemannSnf est définie par S_nf = ^b−a_n

n

P

k=1

f a+k·^b−a_n . La suite associée converge versRb

af(x) dx.

Exercice 2. Calculer les limites des suites ci-dessous lorsquentend vers l’infini : 1)un=

2n

P

k=1 k n²+k², Pour toutn∈N^∗, on a

un = _2n¹

2n

P

k=1

k 2n

1/4+(_2n^k)² = Snf ,

oùf est la fonction continue

f : [0,1] −→ R+

x 7−→ _1/4+x^x 2

.

Le théorème de convergence des sommes de Riemann donne alors

n→+∞lim u_n = R1 0

x

1/4+x² dx = ¹₂

ln 1/4 +x²¹

0 = ¹₂ln 5 .

2)u_n= ⁿ q(2n)!

n!·nⁿ. Pour toutn∈N^∗, on a

lnu_n = _n¹ _n

P

k=1

ln (n+k)−nlnn

= _n¹

n

P

k=1

ln 1 + ^k_n

= S_nf .

oùf est la fonction continue

f : [0,1] −→ R+

x 7−→ ln (1 +x) .

Le théorème de convergence des sommes de Riemann donne alors

n→+∞lim lnun = R1

0 ln (1 +x) dx = R2

1 ln (x) dx = [xlnx−x]²₁ = 2 ln 2−1 .

Par continuité de l’exponentielle, on a donc

n→+∞lim un = ⁴_e .

Exercice 3. Calculer l’intégrale suivante :

Rπ/4

0 xsin²(x) dx .

On commence par linéariser le sinus carré. Pour tout réel x, on a sin²(x) =

e^ix−e^−ix 2i

²

= −¹₄ e^2ix+e^−2ix−2

= −¹₂cos (2x) +¹₂ .

On a donc

Rπ/4

0 xsin²(x) dx = ¹₂Rπ/4

0 xdx−¹₂Rπ/4

0 xcos (2x) dx

= ¹₄ x^2π/4

0 −¹₄[xsin (2x)]^π/4₀ +¹₄Rπ/4

0 sin (2x) dx

= ^π₆₄² −₁₆^π −¹₈[cos (2x)]^π/4₀

= ^π₆₄² −₁₆^π +¹₈.

.

Exercice 4. Soit(An)_n une suite croissante d’ensembles mesurables deR^d. Montrer que la suite(λ(An))_n converge dansR+ vers la mesure de∪nAn.

Exercice 5. Soient a < bdeux réels et fn : [a, b]−→Rune suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction continuef, c’est-à-dire vérifiant

kf−f_nk_∞ = sup

x∈[a,b]

|f(x)−f_n(x)| −→

n→+∞ 0

Montrer que l’on a

n→+∞lim Rb

a fn(x) dx = Rb

a f(x) dx .

Ce résultat est-il vrai pour une suite fn de fonctions continues sur un segment [a, b]convergant simplement vers une fonction continue f?

Par inégalité triangulaire, on a

Rb

a (f(x)−f_n(x)) dx

≤ Rb

a |f(x)−f_n(x)| dx ≤ (b−a)kf−f_nk_∞ −→

n→+∞0 , ce qui donne le résultat souhaité.