Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017
Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY
Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3
TD6 : 09/02/2017
Correction suite exos Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue
Solution Exercice 17
Énoncé : En intégrantf(x, t) =e−xysin(x)sur[, T]×[0,+∞[,0< < T, calculer Z +∞
0
sin(t) t dt (avec des intégrales doubles).
Soient 0< ε < T, nous avons Z T
ε
sin(x) x dx=
Z T
ε
sin(x) Z ∞
0
e−xydy
dx
= Z ∞
0
Z T
ε
sin(x)e−xydx
dy
= Z ∞
0
e−yε(cosε+ysinε)−e−yT(cosT +ysinT)
y2+ 1 dy
= Z ∞
0
gε,T(y)dy
l'application ci-dessus du théorème de Fubini est justiée par |f(x, y)| ≤e−xy et Z T
ε
Z ∞
0
e−xydy
dx = Z T
ε
−exy x
∞
0
dx= Z T
ε
dx
x = logT
ε <∞.
pour tous 0< ε < T.
Maintenant, observons que pour 0< ε < y
|e−yε(cosε+ysinε)| ≤1 +yεe−yε≤1 +e−1,
de même, pour T ≥1
|e−yT(cosT +ysinT)| ≤e−yT(1 +y)≤e−y(1 +y).
Ainsi pour0< ε≤y≤T etT ≤1
|gε,T(y)| ≤ max{(1 +e−1, e−y(1 +y)}
y2+ 1 ∈L1(R+).
1
Il est donc légitime d'invoquer le théorème de la convergence dominée pour écrire
ε→0lim+
T→+∞lim Z ∞
0
gε,T(y)dy= Z ∞
0
dy
y2+ 1 = π 2 d'autre part, comme
Z T
ε
sin(x) x dx=
Z ∞
0
gε,T(y)dy nous avons nalement
Z ∞
0
sin(x)
x dx = lim
ε→0+
T→+∞lim Z ∞
0
gε,T(y)dy= π 2.
Solution Exercice 18 Nous avons
Z
R
f(x)dx 2
= Z
R
f(x1)dx1
. Z
R
f(x2)dx2
On dénit l'applicationg :R×R−→Rtelle queg(x1, x2) =f(x1).f(x2). Il est clair que : 1. La fonction g est positive.
2. La fonction g est symétrique c-à-d g(x1, x2) = g(x2, x1) Nous appliquons le théorème Fubini-Tonelli, nous avons
Z
R
f(x1)dx1
. Z
R
f(x1)dx1
= Z
R2
f(x1)f(x2)dx1dx2 = Z
R2
g(x1, x2)dx1dx2 A ce stade, on dénit les ensembles suivants :A1 ={(x1, x2)∈R2 tel que x2 > x1},A2 = {(x1, x2)∈R2 tel que x2 < x1}etD={(x1, x2)∈R2 tel que x2 =x1}. Nous remarquons que le plan R2 =A1∪A2∪D, par suite
Z
R2
g(x1, x2)dx1dx2 = Z
A1
g(x1, x2)dx1dx2+ Z
D
g(x1, x2)dx1dx2+ Z
A2
g(x1, x2)dx1dx2
= Z
A1
g(x1, x2)dx1dx2+ Z
A2
g(x1, x2)dx1dx2
:=I1+I2 D'autre part,
I1 = Z
A1
g(x1, x2)dx1dx2 = Z
{(x1,x2)∈ R2|x2>x1}
g(x1, x2)dx1dx2
= Z
{(x2,x1)∈ R2|x1>x2}
g(x2, x1)dx2dx1
= Z
A2
g(x1, x2)dx1dx2 =I2. Par conséquent,
Z
R2
g(x1, x2)dx1dx2 =I1+I2 = 2I2 = 2I1 2
On conclut donc que : Z
R
f(x)dx 2
= Z
R
f(x1)dx1
. Z
R
f(x1)dx1
= Z
R2
g(x1, x2)dx1dx2 = 2I2 = 2 Z
A2
g(x1, x2)dx1dx2
= 2 Z
{(x2,x1)∈ R2|x1>x2}
f(x2)f(x1)dx2dx1
= 2 Z +∞
−∞
f(x1) Z x1
−∞
f(x2)dx2
dx1
3
