Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017

Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY

Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3

TD 11 : 08/03/2017

Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Solution Exercice 34

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois Γ(α₁, β) et Γ(α₂, β) respec- tivement. On rappelle que la densité de la loi Γ(α, β)(α, β >0) est donnée par

f(x) = β^α

Γ(α)x^α−1e^−βx1x>0

et que la densité de la loi B(a, b)(a, b >0) est donnée par g(x) = Γ(a+b)

Γ(a)Γ(b)x^α−1(1−x)^b−110<x<1. 1. Calculer la loi du couple (S, T) oùS =X+Y et T =X/(X+Y).

Soitϕ:R×R−→Rune application continue bornée. Lesv.a. X etY étant indépendantes on a

E[ϕ(X+Y, X

X+Y )] = Z

R^∗+×R^∗+

ϕ(x+y, x

x+y) β^α1

Γ(α₁)x^α1−1e^−βx β^α2

Γ(α₂)y^α2−1e^−βydxdy.

On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours.

L'application

g : G=R^∗+×R^∗+ −→H =R^∗+×]0,1[

(x, y) 7−→(u, v) = (x+y, x x+y) est une bijection de classe C¹ de réciproque

g⁻¹ : H =R^∗+×]0,1[−→G=R^∗+×R^∗+

(u, v) 7−→(x, y) = (uv, u(1−v)).

Il faut faire attention à prendre le bon ensemble H ! Le jacobien de g est donné par

J_g(x, y) =

1 1

y

(x+y)² − x (x+y)²

=− x+y

(x+y)² =− 1

x+y, donc |J_g(x+y)|= 1 x+y.

1

Le jacobien de g ne s'annule jamais sur G. Il découle de la formule du changement de variable que

Z

R^∗₊×R^∗₊

ϕ

x+y, x x+y

β^α1

Γ(α₁)x^α1−1e^−βx β^α2

Γ(α₂)y^α2−1e^−βydx dy

= Z

R^∗+×R^∗+

ϕ

x+y, x x+y

β^α1+α2

Γ(α₁)Γ(α₂)e^−β(x+y)x^α1−1y^α2−1x+y x+ydx dy

= Z

R^∗+×]0,1[

ϕ(u, v) β^α1+α2

Γ(α1)Γ(α2)e^−βuu^α1+α2−1v^α1−1(1−v)^α2−1du dv.

Ceci étant vrai pour toute application ϕ: R×R−→R continue et bornée, on en déduit que (S,T) admet

f_(S,T)(u, v) = β^α1+α2

Γ(α₁)Γ(α₂)e^−βuu^α1+α2−1v^α1−1(1−v)^α2−11R^∗+(u)1]0,1[(v).

pour densité.

2. Montrer que S et T sont indépendantes et calculer leurs lois respectives.

La densité marginale de S est donnée par f_S(u) =

Z

R

f_(S,T)(u, v)dv

= β^α1+α2

Γ(α1)Γ(α2)e^−βuu^α1+α2−11R^∗+(u) Z 1

0

v^α1−1(1−v)^α2−1dv

= β^α1+α2

Γ(α₁+α₂)e^−βuu^α1+α2−11R^∗₊(u) La densité marginale de T vérie

f_T(v) = Z

R

f_(S,T)(u, v)du

= β^α1+α2

Γ(α₁)Γ(α₂)v^α1−1(1−v)^α2−11]0,1[(v) Z

R^∗+

e^−βuu^α1+α2−1du

= Γ(α₁+α₂)

Γ(α₁)Γ(α₂)v^α1−1(1−v)^α2−11^]0,1[(v)

Par conséquent f_S ×f_T est une densité pour le couple(S, T) donc S et T sont indépen- dantes.

3. Déterminer la loi de ^X_Y et calculer son espérance si elle existe. Cette variable aléatoire est-elle indépendante de S ?

On calcule la loi du couple (S, T) oùS =X+Y et Q=X/Y.

Soit ϕ : R× R −→ R une application continue bornée. Les v.a. X et Y étant indépendantes on a

E[ϕ(X+Y,X Y )] =

Z

R^∗₊×R^∗₊

ϕ(x+y,x y) β^α1

Γ(α1)x^α1−1e^−βx β^α2

Γ(α2)y^α2−1e^−βydxdy.

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On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours.

L'application

g : G=R^∗+×R^∗+ −→H =R^∗+×R^∗+

(x, y) 7−→(u, v) =

x+y,x y

est une bijection de classe C¹ de réciproque

g⁻¹ : H =R^∗+×R^∗+ −→G=R^∗+×R^∗+

(u, v) 7−→(x, y) = uv

v+ 1, u v+ 1

.

Il faut faire attention à prendre le bon ensemble H ! Le jacobien de g est donné par

J_g(x, y) =

1 1

1

y −x

y²

=−x y² − 1

y =−(x+y)

y² , donc |J_g(x+y)|= (x+y) y²

Par suite,

du dv=|J_g(x+y)|dx dy= (x+y) y² dx dy où alors,

dx dy = u

(v+ 1)² du dv

Le jacobien de g ne s'annule jamais sur G. Il découle de la formule du changement de variable que

Z

R^∗+×R^∗+

ϕ

x+y,x y

β^α1

Γ(α₁)x^α1−1e^−βx β^α2

Γ(α₂)y^α2−1e^−βydx dy

= Z

R^∗+×R^∗+

ϕ

x+y,x y

β^α1+α2

Γ(α₁)Γ(α₂)e^−β(x+y)x^α1−1y^α2−1dx dy

= Z

R^∗+×R^∗+

ϕ(u, v) β^α1+α2

Γ(α1)Γ(α2)e^−βu uv

v+ 1

α1−1 u v + 1

α2−1

u

(v+ 1)² du dv.

= Z

R^∗+×R^∗+

ϕ(u, v) β^α1+α2

Γ(α₁)Γ(α₂)e^−βu u^α1+α2−1 v^α1−1

(v+ 1)^α1+α2 du dv.

Ceci étant vrai pour toute application ϕ : R×R−→ R continue et bornée, on en déduit que (S,T) admet

f_(S,Q)(u, v) = β^α1+α2

Γ(α₁)Γ(α₂)e^−βu u^α1+α2−1 v^α1−1

(v+ 1)^α1+α2 1R^∗+(u)1R^∗+(v).

pour densité.

3

La densité marginale de Qvérie f_Q(v) =

Z

R

f_(S,Q)(u, v)du

= β^α1+α2

Γ(α₁)Γ(α₂)v^α1−1(1 +v)^−α1−α21R^∗+(v) Z

R^∗+

e^−βuu^α1+α2−1du

= Γ(α₁+α₂)

Γ(α₁)Γ(α₂)v^α1−1(1 +v)^−α1−α21R^∗₊(v) On remarque que Qsuit la loi Beta prime β⁰(α₁, α₂). Espérance deQ :

E(Q) = Z

R

v.f_Q(v)dv= Γ(α₁+α₂) Γ(α₁)Γ(α₂)

Z

R^∗+

v^α1(1 +v)^−α1−α2dv

Au voisinage de +∞, on remarque que v^α1(1 +v)^−α1−α2 6 (1 + v)^−α2. Par suite l'espérance deQ existe si et seulement si α₂ >1. En utilisant la fonction desnité de la loi Beta prime β⁰(α₁, α₂), on montre que

Z

R^∗₊

v^α1(1 +v)^−α1−α2dv= Γ(α₁+ 1)Γ(α₂−1) Γ(α1+α2) Par conséquent, E(Q) = ^Γ(α_Γ(α^{1+1)Γ(α2−1)}

1)Γ(α2) .

Nous avons f_Q(v).f_S(u) =f_(S,Q)(u, v), donc S etQ sont indépendantes.

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