Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017
Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY
Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3
TD 15 : 29/03/2017
Correction suite Exos Vecteurs aléatoires
Solution Exercice 43
Énoncé : Soient X1, ...Xn des variables aléatoires positives indépendantes de même loi telle que P(X1 = 0) = 0. Pour tout k = 1, ..., n calculer
E
X1+...Xk X1+...Xn
Posons la quantité Sn =X1+...Xn. Par additivité de l'espérance, nous avons E
X1+...Xk X1+...Xn
=E
X1+...Xk Sn
=E X1
Sn + X2
Sn +....+ Xk Sn
=
k
X
j=1
E Xj
Sn
=kE X1
Sn
(1)
Or E Sn
Sn
= 1 = nE X1
Sn
. On montre donc E X1
Sn
= 1n. On remplace cette dernière égalité dans (1), on conclut :
E
X1+...Xk X1+...Xn
= n k.
Solution Exercice 43
Énoncé : Forme cartésienne de la méthode de Box et Müller. Soient (Un)n≥1 et ((Vn)n≥1 deux suites indépendantes de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0,1]. Soit
N = inf{k >1, 0< Uk2+Vk2 <1}
et
X =UN
s−2 ln(UN2 +VN2)
UN2 +VN2 ; Y =VN
s−2 ln(UN2 +VN2)
UN2 +VN2 1. Quelle est la loi de N ?
2. Montrer que X et Y sont indépendantes et de même loi N(0,1) à suivre ...
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