Correction Exos Vecteurs aléatoires

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Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017

Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY

Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3

TD 8 : 23/02/2017

Correction Exos Vecteurs aléatoires

Solution Exercice 22

Énoncé : Soit X une v.a.r. suivant la loi uniforme sur {−1,0,1}. Soit Y = X². Déter- miner la loi du couple (X, Y). En déduire la loi de Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

1. Loi du couple (X, Y) : Nous avons Y =X² une v.a.r. sur {0,1} et X une v.a.r.

suivant la loi uniforme sur {−1,0,1}donc

P((X = 1)∩(Y = 1)) =P(Y = 1|_(X=1)).P(X = 1) = 1× 1 3 = 1

3 P(X=−1∩Y = 1) =P(Y = 1|_(X=1)).P(X =−1) = 1× 1

3 = 1 3 P(X= 0, Y = 0) =P(Y = 0|_(X=0)).P(X = 0) = 1× 1

3 = 1 3 P(X= 0, Y = 1) = 0

P(X= 1, Y = 0) = 0 P(X=−1, Y = 0) = 0 2. Loi du couple Y :

P(X = 1) = 1 3

P(Y = 1) =P(Y = 1, X = 1) +P(Y = 1, X =−1) = 1 3+ 1

3 = 2 3 3. X et Y ne sont pas indépendantes. En eet, nous avons

P(X = 1, Y = 1)6=P(X = 1)×P(Y = 1)

On dénit sur un espace de probabilité (Ω, A, P) deux variables aléatoires X et Y . On suppose que X est de loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0,1] et que Y est de loi de Bernoulli de paramètre p∈[0,1]. On suppose de plus que p < q. On remarquera que cela impose les lois marginales de (X, Y) mais pas la loi jointe du couple.

1

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1. Montrer que P(X 6Y) = 1−P((X, Y) = (1,0))? On a

P(X 6Y) = 1−P(X > Y)) = 1−P ({X = 1} et{Y = 0})

= 1−P ((X = 1)∩(Y = 0)) = 1−P ((X, Y) = (1,0)) 2. Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur[0,1]. Soitx∈[0,1]et Z la variable

aléatoire dénie par

Z =

1 si U < x 0 sinon

Quelle est la loi de Z =1^{{U <x}}?

P(Z = 1) =P(U < x) = x

P(Z = 0) =P(U >x) = 1−P(U < x) = 1−x

3. Montrer que l'on peut se donner une loi pour le couple (X, Y) compatible avec l'énoncé et telle que P(X 6Y) = 1?

Posons

X =1{U <p} =

1 si U < p 0 si U >p et

Y =1{U <q} =

1 si U < q 0 sinon U >q

Nous avons P ((X = 1)∩(Y = 0)) =P ((U < p)∩(U >q)) =P(φ) = 0 Par suite,

P(X 6Y) = 1−P(X > Y)) = 1−P ((X, Y) = (1,0)) = 1−0 = 1.

4. Montrer que dans tous les cas possibles de lois jointes de (X, Y ) compatibles avec l'énoncé on a P(X 6Y)>1−min(p,1−q)?

Nous avons P

X

Y

=

1

0

=P ((X = 1)∩(Y = 0)) ^Bayes= P {X = 1}|_{Y_=0}

P(Y = 0)

= (1−q)P {X = 1}|{Y=0}

On sait que P {X = 1}|{Y=0}

61, par suite nous avons

P ((X, Y) = (1,0))6(1−q). (1) D'autre part

P

X

Y

=

1

0

=P ((X = 1)∩(Y = 0)) ^Bayes= P {Y = 0}|_{X=1}

P(X = 1)

=p P {Y = 0}|{X=1}

2

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De même on sait que P {Y = 0}|{X=1}

61, d'où nous obtenons

P((X, Y) = (1,0))6p. (2)

En vertu de (1) et (2) nous montrons que P ((X, Y) = (1,0)) 6 min(p,1−q). Par équivalence on montre également :

P ((X, Y) = (1,0)) 6min(1,1−q)⇔1−P((X, Y) = (1,0))>1−min(1,1−q)

⇔P(X 6Y)>1−min(p,1−q)

5. Montrer que l'on peut se donner une loi jointe de (X, Y) compatible avec l'énoncé et telle que P(X 6Y) = 1−min(p,1−q)?

Posons

X =1^{{U <p}} =

1 si U < p 0 sinon

et

Y =1{U >1−q} =

1 U > 1−q 0 U < 1−q On conclut donc que

P ((X, Y) = (1,0)) =P ((X = 1)∩(Y = 0)) =P ((U < p)∩(U <1−q))

=P (U 6min(p,1−q)) =min(p,1−q).

Énoncé : Soient X, Y et U trois variables aléatoires réelles indépendantes. On suppose que la loi de U est donnée parP(U = 1) =P(U =−1) = ¹₂ et on poseS =U X etT =U Y. 1. Est-ce que S et T sont nécessairement indépendantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

2. Est-ce que S² et T² sont nécessairement indépendantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

Soient X, Y et U trois variables aléatoires réelles indépendantes. On suppose que la loi de U est donnée par P(U = 1) =P(U =−1) = ¹₂ et on poseS =U X etT =U Y.

1. Est-ce que S et T sont nécessairement indépendantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre- exemple.

Non, S et T ne sont pas nécessairement indépendantes. Par exemple on voit que si X et Y sont toutes deux de loi uniforme sur {0,1} alors P(S = 1, T = −1) = 0 tandis que P(S = 1) =P(T =−1) = ¹₄.

2. Est-ce que S² et T² sont nécessairement indépendantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

Oui, S² etT² sont nécessairement indépendantes. En eet S² =X² etT² =Y² et on sait que si X et Y sont indépendantes alors toutes les images ϕ(X) etψ(Y) de X et Y par des applications mesurables ϕet ψ sont indépendantes.

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