Fiche d’exercices corrigés – Vecteurs, Généralités
EXERCICE 1
Soient A, B et C trois points distincts du plan.
1. Placer N tel que
AN = BA +
2AC
. 2. Placer M tel que MA−2MB= −AB. 3. Placer I tel que
IA IB + =
0.
EXERCICE 2
(1) a. Tracer
AB + AC
.b. Placer M tel que BM=AB+AC .
(2) a. Tracer ML+KL .
b. Placer N tel que
NL = ML + KL
.EXERCICE 3
(1) Placer M tel que AM =2AB
, tel que
NA = −
2AC
.(2) A l’aide de la relation de Chasles, exprimer
NM
en fonction de
CB
. (3) En déduire que (NM) // (BC)
A
B C
K L
M
A
B C
A
B C
EXERCICE 4
Soient A, B deux points distincts.
(1) Placer un point M sur la figure. Tracer le vecteur MA MB− . (2) Placer un point N sur la figure. Tracer le vecteur
NA − NB
. (3) Que remarquez vous ? Prouver que le vecteur MA MB−
est indépendant de M.
EXERCICE 5
OAB un triangle non aplati avec OA = 6cm et AB = 3cm.
1. Construire C et D tels que : 1 OC=3OA
et 1
CD=3AB . 2. Exprimer
OD
en fonction de
OB
. 3. Prouver que O, B et D sont alignés.
EXERCICE 6
A, B, C, D quatre points quelconques non alignés.
I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. A l’aide du théorème des milieux, exprimer
IJ
en fonction de
AC
. 2. Exprimer ensuite LK
en fonction de
AC
. 3. En déduire la nature du quadrilatère IJKL.
A B
A
B
C D
I
J K
L
Fiche d’exercices corrigés – Vecteurs.
EXERCICE 1 - Corrigé
1. Plaçons N tel que
AN = BA +
2AC
. Notonsu = BA +
2AC
: on place alors
u
avec A comme origine pour obtenir l’extrémité N.
2. Plaçons M tel que MA−2MB = −AB
: utilisons la relation de Chasles.
2 2 2
MA − MB = − AB ⇔ MA − MA − AB = − AB ⇔ − MA = AB ⇔ AM = AB
. M est donc confondu avec le point B.
3. Plaçons I tel que
IA IB + =
0: d’après le cours, I est le milieu de [AB].
EXERCICE 2 - Corrigé
1a. Pour tracer
AB + AC
, on place le point D tel que ABDC soit un parallélogramme.
D’après le cours,
AB + AC = AD
.1b. On veut placer M tel que BM=AB+AC
donc on place le vecteur
AB + AC
à partir de l’origine B. L’extrémité est le point M cherché.
A
B C
D
A
B C
D M
K L
M
N
A
B C
u N
2a. Pour tracer ML+KL
, on déplace le vecteur KL
à l’origine L, puis on applique la relation de Chasles.
2b. Comme dans le 1b, on place le point L.
EXERCICE 3 - Corrigé
(1) Soit M tel que AM=2AB
et N tel que
NA = −
2AC
.M ne pose aucune difficulté. Pour placer N, on remarque qu’en fait
NA =
2CA
.
(2) Il semble que
NM =
2CB
: prouvons le ! D’après la relation de Chasles,
NM = NA + AM
. Or par définition,
NA =
2CA
et AM=2AB .
Ainsi, NM =2CA+2AB =2
(
CA+AB)
=2CB, d’après la relation de Chales.(3) Les vecteurs
NM
etCB
sont colinéaires donc (NM)//(BC).
EXERCICE 4 - Corrigé
(1 et 2) Voici les vecteurs MA MB−
et
NA − NB
.(3) Il semble que MA MB−
soit un vecteur
indépendant du point M, et qu’en fait MA−MB=BA . Prouvons le : d’après la relation de Chasles,
( )
MA−MB=MA− MA+ AB = −AB=BA
donc pour tout point M, ce vecteur est constant.
EXERCICE 5 - Corrigé
OAB un triangle non aplati avec OA = 6cm et AB = 3cm.
1. Soit C et D tels que : 2 OC= 3OA
et 2
CD=3AB . 2. Exprimons
OD
en fonction de
OB
: d’après la relation de Chasles,
OD = OC + CD
. A
B C
M N
A B
M
N MA-MB
NA-NB
B
D
Mais 2 OC=3OA
et 2
CD= 3AB
donc on en déduit que OD = 23
(
OA+AB)
= 23OB.3. Comme les vecteurs
OD
et
OB
sont colinéaires, on a (OB)//(OD) : le point O étant en commun, ces deux droites sont confondues donc les points O, B et D sont alignés.
EXERCICE 6 - Corrigé
A, B, C, D quatre points quelconques non alignés.
I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Dans le triangle ABC, d’après le théorème des milieux, la droite (IJ) des milieux est parallèle à la droite (AC). D’après ce même théorème,
1 IJ=2 AC. Comme (IJ) // (AC), les vecteurs
IJ
et
AC
sont colinéaires, donc il existe un réel k tel que
IJ = k AC
. Comme 1
IJ=2 AC, d’après le sens des vecteurs 1 IJ = 2AC
.
2. La même méthode appliquée au triangle DAC permet de conclure que 1
LK = 2AC
.
3. Dans le quadrilatère IJKL, on a donc
IJ = LK
: d’après le cours, ce quadrilatère est donc un parallélogramme.
A
B
C D
I
J K
L
A
B
C D
I
J K
L
