Exos corrigés vecteurs

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigés sur Les vecteurs, Coordonnées

Fiche d’exercices corrigés – Vecteurs, Coordonnées Exercice 1

Dans un repère, on donne les points 7 1 1 3 5 5 13

; , ; , ; , ;3 .

2 2 2 2 2 2 4

A  B  C  D 

− −       

       

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ? 2. Même question avec B, C et D.

3. Déterminer les coordonnées du point E tel que BCDE soit un parallélogramme.

Exercice 2

Soit R un repère orthonormé d’unité le centimètre d’origine O. On donne les points de coordonnées 1; 1

A 2

 − 

 , 3 3 1

3; ;

2 2 2

B  et C 

−   

   .

1. Construire la figure.

2. a. Calculer les longueurs AB et AC.

b. Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier.

3. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].

4. Déterminer les coordonnées du point J tel que IB+IC=2IJ . 5. Montrer que (IJ) //(AC).

Exercice 3

Déterminer la (les) valeur(s) de m telle(s) que u( 1; 2− m−2)

et (2v m+ −2; 5)

soient colinéaires.

Exercice 4

Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 3 1

; , ;1

2 4 4

A  B 

− −

   

    et 3 3 1

0; , ;

2 4 4

C  D 

   − 

   .

1. a. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AC].

b. Les points I, B et D sont-ils alignés. Justifier.

2. ADCB est-il un parallélogramme ? Justifier.

Exercice 5

Dans un repère orthonormé d’origine O, on donne les points ^A

(

⁻^{1;1 ,}

) (

^B ^{1; 1}⁻

)

^et ^3;⁷

C 4

 

 . 1. a. Déterminer les coordonnées de E tel que 1 1

2 2

AE= AB+ AC

. b. La droite (OE) est-elle parallèle à la droite (AC) ?

2. Le triangle ABC est-il rectangle en B ? Justifier.

3. Déterminer les coordonnées du point D de l’axe des ordonnées tel que (AD) // (BC).

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AI – Vecteurs - CORRIGE

Exercice 1.

Pour vérifier si les points A, B et C sont-ils alignés, on peut vérifier que le déterminant des vecteurs AB et AC

est nul.

Nous avons

1 7

( )

2 2

3 1

( )

2 2

AB

 

 − − 

 

 − − 

 

 

donc 4

AB 2

  

.De même, 6 AC 3

  

: ainsi, det(AB AC,)= × − × =4 3 2 6 0 .

Les points A, B et C sont bien alignés.

1. Nous avons 2 BC 1

  

et

11 4 3 2 BD

 

 

 

donc 3 11

det( , ) 2 1 0

2 4

BC BD = × − × ≠

donc les points ne sont pas

alignés.

2. Soit x E y

  

  : BCDE est un parallélogramme si et seulement si ED=BC . Or

13 4 3 ED x

y

 

 − 

 

 − 

 

et

2 BC 1

  

. Ces vecteurs sont égaux SSI ils ont mêmes coordonnées donc

13 5

4 2 4

3 1 2

x x

y y

− = ⇔ =

− = =

et 5

4 2 E

  

  

  .

Exercice 2

2a. Calculer les longueurs AB et AC.

Nous avons 4 AB2− 

 

 

donc AB= 20=2 5 : de même,

1 2 1 AC

  

  

 

donc 5 5

4 2

AC= = .

2b. Pour savoir si un triangle est rectangle, nous ne connaissons que la réciproque du théorème de Pythagore. 9

2; 1 BC 

 − 

 

donc 81 85

4 1 2

BC= + = .Dans le triangle ABC, on a : AB² + AC² = 5 85

20+ =4 4 et BC² = 85

4 .Ces deux quantités sont égales donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. I a pour coordonnées : 1 1;2 I 

− 

 .

(3)

- 3 -

4. Soit x J y

  

  : alors

1 1 2 x IJ y

+

 

 

 − 

 

 

et

2 5 1 2

0

IB IC

−  

 +  

    

 

a pour coordonnées 1 2 1

  

  

  .

Pour que IB+IC=2IJ

, il faut donc que

1 3

2 2

2 4

2 1 1 1

x x

y y

+ = ⇔ = −

− = =

et donc 3 4 1 J

 

− 

 

 

.

5.

1 4 1 2 IJ

  

 

  

 

= 1 2AC

car 1 2 1 AC

  

  

 

: ces deux vecteurs sont donc colinéaires. Les droites (IJ) et (AC)

sont donc parallèles.

Exercice 3 Les vecteurs ( 1; 2u − m−2)

et (2v m+ −2; 5)

sont colinéaires SSI xy’ - x’y= 0.

Or ^{det( , )}^{u v} ^{= − × − −}^{( 1) ( 5)}

(

²^m⁻^{2 2}

)(

^m^{+ = −}²

)

⁵

(

⁴^m²^{− = −}⁴

)

^{9 4}^m²^.

C’est nul SSI 9 = 4m² SSI ² 9 3 3

4 2 2

m = ⇔ =m ou m= − . Exercice 4

a. ;

2 2

A C A C

x x y y

I + + 

 

  donc 1 3

4 8; I 

 

 .

b. 1 5

2 8; IB 

− 

 

et 1 5 2; 8 ID 

 − 

 

.Ainsi, IB= −IC

donc sont colinéaires : I, B et D sont donc alignés.

1. 1 1

4 2; AD 

 

 

et 1 1 4 2; BC 

 

 

. Ces deux vecteurs sont égaux donc ADCB est bien un parallélogramme.

Exercice 5

1.

a. Soit ^{E x y}

( )

^; : nous avons, ^{AE x}

(

⁺^1;^y⁻¹

)

^,^AB

(

^{2; 2}⁻

)

^et ^4;³

AC 4

 

 

. Donc le vecteur

1 1

2AB+2AC

a pour coordonnées 5 3; 8

 

 − 

 . Comme 1 1

2 2

AE= AB+ AC

, nous avons 1 3

1 5

8 x

y

 

+

  = 

 −  − 

 

et par identification

1 3 2

5 3

1 8 8

x x

y y

+ = =

− = − ⇔ = .Ainsi, E 3 2;8

 

 

 .

(4)

- 4 -

b. Pour savoir si (OE) est parallèle à (AC), on regarde si les vecteurs OE et AC

sont

colinéaires : or 3 3

2; 4;

8 4

OE  et AC 

   

   

donc AC=2OE

et les droites sont bien parallèles.

2. Pour savoir si le triangle ABC est rectangle en B, on cherche à utiliser le théorème de Pythagore ou sa réciproque :

(

^{2; 2}

)

AB −

donc ² ² ² 128

( 2) 2 8

AB = − + = = 16 . 4;3

AC 4

 

 

donc

2

2 2 3 9 265

4 16

4 16 16

AC  

= +  = + =

  .

2;11 BC 4 

 

 

donc

2

2 2 11 121 185

2 4

4 16 16

BC  

= +  = + =

  .

Ainsi, BC² + BA² n’est pas égal à AC² : le triangle n’est donc pas rectangle en A (pythagore).

3. Soit D sur l’axe des ordonnées donc ^D

( )

^0;^y ^{. Donc}^AD

(

^1;^y⁻¹

)

: si (AD) // (BC) alors det(AD BC,)=0

cad 11 19

1 ( 1) 2 0 2 0

4 y y 4

× − − × = ⇔ − + = et par conséquent y = 19 / 8.

Finalement, on a 19 0; 8 D 

 

 .