Le théorème de Pythagore et sa réciproque
1) Théorème de Pythagore
a) Enoncé
Si un triangle est rectangle, Alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés perpendiculaires.
Exemple :
b) Utilisation du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle lorsque l’on connaît les deux autres longueurs.
Exemples:
1) Le côté à calculer est l’hypoténuse ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6cm et AC = 9cm.
Calculer BC. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.
On sait que le triangle ABC est rectangle en A.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
2 2 2
2 2 2
2 2
6 9
36 81 117 BC AB AC BC
BC BC
Pour trouver BC on tape sur la calculatrice.
Elle nous donne alors une approximation.
Le nombre exact se note : 117
117
BC cm valeur exacte 10,8
BC cm arrondi au dixième de cm donné
2) Le côté à calculer n’est pas l’hypoténuse CDE est un triangle rectangle en C tel que CE = 5 cm et ED = 8 cm
Calculer CD. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.
On sait que le triangle CDE est rectangle en C.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
8 5
64 25
64 25 39
ED CD CE CD
CD CD CD
Pour trouver CD on tape sur la calculatrice.
Elle nous donne alors une approximation.
Le nombre exact se note : 39
39
CD cm valeur exacte 6, 2
CD cm arrondi au dixième de cm donné par
Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC2=AB2+AC2.
A B
C
A
B C
6 9
?
par la calculatrice la calculatrice
2) Conséquence du théorème de Pythagore
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,
Alors le triangle n’est pas rectangle.
Exemple :
Soit un triangle EFG tel que : EF = 3 cm, EG = 3,5 cm et FG = 4,5 cm.
Le triangle EFG est-il rectangle ?
Dans le triangle EFG, le côté [FG] est le plus long.
On a, d’une part : FG2 4,52 20, 25 D’autre part :
On constate que : FG2 EF2 EG2. D’après le théorème de Pythagore, le triangle EFG n’est pas rectangle.
Remarque : Le théorème de Pythagore permet aussi de prouver qu’un triangle dont on connaît les trois longueurs n’est pas rectangle.
3) Réciproque du théorème de Pythagore
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,
Alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand côté.
Exemple :
Soit un triangle IJK tel que : IJ = 6 cm, IK = 4,5 cm et JK = 7,5 cm.
Le triangle IJK est-il rectangle ?
Dans le triangle IJK, le côté [JK] est le plus long.
On a, d’une part : JK2 7,52 56, 25 D’autre part :
2 2 32 3,52
9 12, 25 21, 25 EF FG
2 2 62 4,52
36 20, 25 56, 25 IJ IK
On constate que : JK2 IJ2IK2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I.
Remarque : La réciproque du théorème de Pythagore permet de prouver qu’un triangle dont on connaît les trois longueurs est rectangle.
