Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017

Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY

Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3

TD 12 : 09/03/2017

Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Solution Exercice 37

Énoncé : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes, X étant de loi expo- nentielle de paramètre α > 0 et Y de loi exponentielle de paramètre β > 0. On suppose que α6=β.

On rappelle qu'une variable aléatoire réelle est de loi exponentielle de paramètre α >0 si elle admet f(x) = αe^−αx1^]0,+∞[(x) comme densité.

1. Quelle est la loi du couple (X+Y,Y) ? 2. Quelle est la loi de X+Y ?

3. Les variables aléatoires X+Y et Y sont-elles indépendantes ?

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes, X étant de loi exponen- tielle de paramètreα >0 et Y de loi exponentielle de paramètre β > 0. On suppose que α 6=β. On rappelle qu'une variable aléatoire réelle est de loi exponentielle de paramètre α >0 si elle admetf(x) =αe^−αx1]0,+∞[(x) comme densité.

1. Quelle est la loi du couple (X+Y,Y) ?

Soit ϕ:R×R−→Rune application mesurable bornée quelconque. Les v.a. X et Y étant indépendantes on a

E[ϕ(X+Y, Y)] = Z

R^∗+×R^∗+

ϕ(x+y, y)αe^−αxβe^−βydxdy.

On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours.

L'application

g : G=R^∗+×R^∗+ −→H = (R^∗+×R^∗+)∩ {(u, v)∈R² :u > v}

(x, y) 7−→(u, v) = (x+y, y) est une bijection de classe C¹ de réciproque

g⁻¹ : H = (R^∗+×R^∗+)∩ {(u, v)∈R² :u > v} −→G=R^∗+×R^∗+

(u, v) 7−→(x, y) = (u−v, v).

Il faut faire attention à prendre le bon ensemble H ! Le jacobien de g est donné par

J_g(x, y) =

1 1

0 1

= 1.

1

Le jacobien de g ne s'annule jamais sur G. Il découle de la formule du changement de variable que

Z

R^∗+×R^∗+

ϕ(x+y, y)αe^−αxβe^−βydxdy = Z

H

ϕ(u, v)αβe^−αue^{−(β−α)v}dudv.

Ceci étant vrai pour toute applicationϕ:R×R−→Rmesurable et bornée, on en déduit que (X+Y,Y) admet

f_X+Y,Y(u, v) =αβe^−αue^{−(β−α)v}1H(u, v) pour densité.

2. Quelle est la loi de X+Y ?

D'après un résultat du cours, X+Y admet f_X+Y(u) =R

Rf_(X+Y,Y)(u, v)dv comme densité.

Or si u ≤ 0 alors pour toutv ∈ Rf(X+Y,Y)(u, v) = 0 donc si u ≤ 0 nécessairement f_X+Y(u) = 0. Supposons u >0 xé. Alors {v ∈R: (u, v)∈H}=]0, v[ donc

f_X+Y(u) = Z u

0

αβe^−αue^{−(β−α)v}dv

=αβe^−αu Z u

0

e^{−(β−α)v}dv

=αβe^−αu

−e^{−(β−α)v} β−α

^u

0

= αβ

β−α(e^−αu−e^−βu).

En conclusion, X+Y admet pour densité f_X+Y(u) = _β−α^αβ (e^−αu−e^−βu)1R^∗₊(u) 3. Les variables aléatoires X+Y et Y sont-elles indépendantes ?

Première méthode : On vérie quef_X+Y,Y(u, v)6=f_X(u).f_Y(v), donc X+Y et Y ne sont pas indépendantes.

Deuxième méthode : On peut répondre à cette question sans avoir répondu aux questions précédentes. En eet, on a clairement que {X +Y ∈ [1,2]} ∩ {Y ∈ [3,4]}=∅ puisque X et Y sont positives, donc P(X+Y ∈[1,2], Y ∈[3,4]) = 0. Or P(Y ∈[3,4])>0et comme {X ∈[¹₂,³₄]} ∩ {Y ∈[¹₂,³₄]} ⊂ {X+Y ∈[1,2]}on a

P(X+Y ∈[1,2]≥P

{X ∈[1 2,3

4]} ∩ {Y ∈[1 2,3

4]}

=P

{X ∈[1 2,3

4]}

P

{Y ∈[1 2,3

4]}

(3)

>0,

l'égalité (3) étant vraie car X et Y sont indépendantes. Ainsi P(X+Y ∈[1,2], Y ∈ [3,4])6=P(X+Y ∈[1,2])P(Y ∈[3,4]) : X+Y et Y ne sont pas indépendantes.

2