Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017

Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY

Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3

TD 15 : 30/03/2017

Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Solution Exercice 42 (Méthode de rejet)

Énoncé : Soient f : R → R et g : R → R deux densités de probabilité pour lesquelles il existe un réel c tel que pour tout x ∈ R on a f(x) 6 cg(x). On suppose qu'il est facile d'obtenir des tirages suivant la densité g et on se propose d'étudier une façon d'en déduire des tirages suivant la densité f connue sous le nom de méthode du rejet. Pour cela on introduit une suite (Yn)n≥1 de variables aléatoires indépendantes de même densité g et (U_n)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0,1]. On suppose que les suites (Y_n)n≥1 et (U_n)n≥1 sont indépendantes.

Soit h:R→[0,1] la fonction dénie par h(x) = f(x)

cg(x) 1g(x)>0

Finalement, soient X et N les variables aléatoires dénies par N = inf{k >1, U_k6h(X_k)} et X =Y_N.

1. Montrer que c>1nécessairement.

Remarquons que l'inégalité f 6cg implique Z

R

f(x)dx≤c Z

R

g(x)dx, comme f et g sont deux densités de probabilité donc c≥1. 2. Quelle est la loi de N ?

P(N =k) = P {U_k ≤h(Y_k)} ∩

k−1

\

i=1

{U_i > h(Y_i)}

!!

=P(U_k ≤h(Y_k))×

k−1

Y

i=1

P(U_i > h(Y_i))

!

(par indépendance des(Y_i, U_i))

=P(U_k ≤h(Y_k))×(P(U₁ > h(Y₁)))^k−1

1

Calculons, pour tout k>1, P (U_k≤h(Y_k)) =

Z

R²

1^x≤h(y) f_Uk,Yk(x, y)dx dy= Z

R²

1^x≤h(y) f_Uk(x) f_Uk(y) dx dy

= Z

R²

1^x≤h(y) 1[0,1](x) g(y) dx dy

= Z

R

Z

x∈[0,1]

1x≤h(y)dx

g(y)dy= Z

R

Z h(y)

0

dx

!

g(y)dy

= Z

R

h(y) g(y)dy = Z

R

f(y)

c g(y) 1g(y)>0 g(y)dy

= 1 c

Z

R

f(y)dy = 1 c. Nous en déduisons, pour tout k>1,

P(N =k) = P (U_k ≤h(Y_k))×(P(U₁ > h(Y₁)))^k−1 = 1 c ×

1− 1

c k−1

On conclut que N suit la loi géométrique de paramètre G ¹_c . 3.

P (X 6t ; N =k) =P (Y_N 6t ; N =k)

=P {Y_k 6t} ∩ {U_k≤h(Y_k)} ∩

k−1

\

i=1

{U_i > h(Y_i)}

!!

=P (Y_k6t ; U_k ≤h(Y_k))×

k−1

Y

i=1

P(U_i > h(Y_i))

!

=P (Y_k6t ; U_k ≤h(Y_k))×(P(U₁ > h(Y₁)))^k−1 De la même manière que précédemment, nous calculons, pour tout k>1,

P (Y_k 6t ; U_k ≤h(Y_k)) = Z

R²

1{y≤t , x≤h(y)} f_Uk,Yk(x, y) dx dy

= Z

R²

1{y≤t , x≤h(y)} 1[0,1](x) g(y) dx dy

= Z

R

Z

x∈[0,1]1^x≤h(y)dx

1^y≤t g(y)dy

= Z

R

Z h(y)

0

dx

!

1^y≤t g(y)dy

= Z t

−∞

h(y) g(y)dy= Z t

−∞

f(y)

c g(y) 1g(y)>0 g(y)dy

= 1 c

Z t

−∞

f(y)dy= F(t) c 2

4. En déduire ainsi que X admet f pour densité.

Nous cherchons la fonction de répartition de X, nous obtenons P (X ≤t) = P {(X =Y_N)≤t} ∩

+∞

[

k=1

{N =k}

!!

=

+∞

X

k=1

P (X ≤t ; N =k)

=

+∞

X

k=1

1−1

c ^k−1

F(t)

c = F(t) c

+∞

X

k=1

1− 1

c ^k−1

= F(t)

c × 1

1− 1− ¹_c (somme géométrique)

=F(t).

où F est la fonction de répartition associée à la densité f. D'où le résultat.

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