Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017
Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY
Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3
TD 13 : 21/03/2017
Correction suite Exos Vecteurs aléatoires
Solution Exercice 33 Rappel :
La partie entière (si non précisé : par défaut) d'un nombre réel x est l'unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que : n6x < n+ 1.
Par défaut nous avons donc la relation suivante : bxc6x <bxc+ 1 et d'autre part, la partie entière vérie : x−1<bxc6x.
Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ >0, de densité fX(x) =λe−λx1x>0.
1. Quelle est la loi du coupleY =bXcetZ =X−bXc? (bXcdésigne la partie entière de X).
On remarque deZ est à valeurs dans [0,1[.X est à valeurs dansR+ donc Y =bXc est à valeurs dans N.
Pour z ∈[0,1[ etk ∈N, on a :
P(Y =k; Z 6z) =P(bXc=k; 06X− bXc6z) = P(k6X 6z+k)
et comme la fonction de répartition de la loi exponentielle FX(x) = (1−e−λx)1x>0 est continue, on a
P(06X 6z+k) =FX(z+k)−FX(k) = [1−exp(−λ(z+k))]−[1−exp(−λk)]
=e−λk−e−λ(k+z)1N(k)1[0,1[(z).
D'où la densité de la loi du couple (Y, Z)
fY,Z(k, z) =−λ2e−λ(k+z)1N(k)1[0,1[(z).
2. Quelle est la loi de la v.a. bXc? (bXc désigne la partie entière de X).
1
X est à valeurs dans R+ donc bXc est à valeurs dans N. Si k∈N, on a P(bXc=k) = P(X∈[k, k+ 1[),
et comme la fonction de répartition de la loi exponentielle FX(x) = (1−e−λx)1x>0
est continue, on a
P(bXc=k) = FX(k+ 1)−FX(k) = [1−exp(−λ(k+ 1))]−[1−exp(−λk)]
=exp(−λk)−exp(−λ(k+ 1))
=exp(−λk) (1−exp(−λ))
= e−λk
(1−e−λ)
On conclut que bXcsuit la loi géométrique de paramètre (1−e−λ). 3. Quelle est la loi de la v.a. Z =X− bXc?
On remarque de Z est à valeurs dans [0,1[. Pourz ∈[0,1[, on a : FZ(z) = P(Z 6z) =P(06X− bXc6z) = P(bXc6X 6z+bXc)
=P
+∞
[
k=0
{X ∈[k, k+z]}
!
=
+∞
X
k=0
P(X ∈[k, k+z])
=
+∞
X
k=0
(FX(k+z)−FX(k)) =
+∞
X
k=0
[1−exp(−λ(k+z))]−[1−exp(−λk)]
=
+∞
X
k=0
exp(−λk)−exp(−λ(k+z)) =
+∞
X
k=0
exp(−λk) (1−exp(−λz))
= (1−e−λz)
+∞
X
k=0
e−λk
= (1−e−λz)
1 1−e−λ
=
1−e−λz 1−e−λ
D'où la densité de la loi de Z estfZ(z) =
λe−λz 1−e−λ
1[0,1[(z).
Conclusion : On constate que
P(bXc=k)×P(Z 6z) =
1−e−λz 1−e−λ
e−λk
(1−e−λ) =e−λk−e−λ(z+k)
=P(Y =k; Z 6z)
Par conséquent, les variables Y et Z sont indépendantes.
Solution Exercice 38
Énoncé : Soit (X,Y) un couple aléatoire de densité fλ(x, y) =cλe−λy1D(x, y)
où λ est un paramètre réel strictement positif xé, D ={(x, y)∈ R2 : 0 < x < y} et cλ
et une constante qui fait de fλ une densité.
2
1. Que vaut cλ?
2. Quelle est la loi du couple (XY , Y)?
3. Donner la loi de(XY ) et celle de Y.Les variables aléatoires (XY) et Y sont-elles indépen- dantes ?
1. Que vaut cλ?
La constante cλ doit être positive, sa valeur est xée pour que Z
D
cλe−λydxdy = 1. Or
Z
D
e−λydxdy= Z +∞
0
Z y
0
e−λydx
dy (4)
= Z +∞
0
e−λy Z y
0
dx
dy= Z +∞
0
ye−λydy
=
−1 λye−λy
+∞
0
+ 1 λ
Z +∞
0
e−λydy= 1 λ2 (5)
où (4) est une conséquence du théorème de Fubini, que l'on peut appliquer puisque l'application dénie sur R2 par (x, y)7→eλy1D(x, y) est positive. Donc cλ =λ2. 2. Quelle est la loi du couple(XY , Y)?
Soitϕ:R×R−→Rune application mesurable bornée quelconque. Le couple (X,Y) admettantfλ comme densité on a
E
ϕ X
Y , Y
= Z
D
ϕ x
y, y
λ2e−λydxdy.
On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours. L'application
g : G=D −→H =]0,1[×R∗+
(x, y) 7−→(u, v) = x
y, y
est une bijection de classe C1 de réciproque
g−1 : H =]0,1[×R∗+ −→G=D
(u, v) 7−→(x, y) = (uv, v).
Il faut faire attention à prendre le bon ensemble H ! Le jacobien de g est donné par
Jg(x, y) =
1 y
−x y2
0 1
= 1 y.
Le jacobien de g ne s'annule jamais sur G. Il découle de la formule du changement de variable que
Z
D
ϕ x
y, y
λ2e−λydxdy = Z
D
ϕ x
y, y
λe−λyy
ydxdy = Z
H
ϕ(u, v)λ2ve−λvdudv.
3
Ceci étant vrai pour toute application ϕ:R×R−→Rmesurable et bornée, on en déduit que (XY , Y)admet f(X
Y,Y) = λ2ve−λv1H(u, v) = λ2ve−λv1]0,1[(u)1R∗+(v) pour densité.
3. Donner la loi de XY et celle de Y. Les variables aléatoires XY et Y sont-elles indépe- nantes ?
D'après un résultat du cours,XY admetfX
Y(u) =R
Rf(X
Y,Y)(u, v)dvcomme densité. Or si u ∈]0,1[c alors pour tout v ∈ Rf(X
Y,Y)(u, v) = 0 donc si u∈]0,1[c nécessairement fX
Y(u) = 0.
Supposons u∈]0,1[ xé. Alors{v ∈R: (u, v)∈H}=R∗+ donc fX
Y(u) = Z
R∗+
λ2ve−λvdv=λ2
Z +∞
0
ue−λudu
= 1 (6)
où (6) s'obtient par le même calcul que (5). Ainsi,XY est de loi uniforme sur]0,1[.Toujours d'après le même résultat du cours, Y admet fY(v) = R
Rf(X+Y,Y)(u, v)d u comme densité.
Or si v ≤ 0 alors pour tout u ∈ Rf(X,Y)(u, v) = 0 donc si v ≤ 0 nécessairement fY(v) = 0.
Supposons v >0xé. Alors{u∈R: (u, v)∈H}=]0,1[doncfY(v) =R1
0 λ2ve−λvdu= λ2ve−λv. Ainsi, Y est de densité fY(v) = λ2ve−λv1R∗+(v).
On observe que fX
Y(u)fY(v) est une densité pour le couple (XY , Y), les variables aléatoires XY et Y sont donc indépendantes.
4
