Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017
Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY
Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3
TD7 : 22/02/2017
Correction suite exos Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue
Solution Exercice 19
Théorème 1 (Beppo-Lévi) : Soit (fn)n>0 une suite monotone de fonctions intégrables convergeant -µ-presque partout vers une fonction f ∈ L1(Ω). Alors, (fn)n>0 −→ f dans f ∈L1(Ω).
Notons, M+: l'ensemble des fonctions positives mesurables.
Corollaire 1 (additivité de l'intégrale dans M+) : Pour toutes fonctionsf, g∈ M+ et toute constante c∈R+,
Z
Ω
(f+g)dµ= Z
Ω
f dµ+ Z
Ω
g dµ.
Énoncé : Interversion série-intégrale dans M+ : Soit (fn)n∈N une suite dans M+. La fonction
+∞
X
k=0
fk est aussi dansM+ et Z
Ω +∞
X
k=0
fk
! dµ=
+∞
X
k=0
Z
Ω
fkdµ (égalité dans R+). (1) Solution : Posons
sn:=
n
X
k=0
fk, s :=
+∞
X
k=0
fk.
L'application sn est mesurable positive comme somme d'un nombre ni d'applications mesurables positives. La suite (sn) converge en croissant (dans R+) vers s. L'additivité de l'intégrale vue au Corollaire 1 pour la somme de deux éléments de M+ s'étend immédiatement à la somme d'un nombre ni quelconque de termes dans M+, d'où
∀n>1, Z
Ω
sn dµ=
n
X
k=0
Z
Ω
fk dµ. (2)
Par le théorème de Beppo Levi (cf. Théorème 1 ), s∈ M+ et Z
Ω
sn dµ
converge en croissant dans R+ vers Z
Ω
s dµ
.
1
Ainsi le premier membre de (2) converge vers celui de (1). D'autre part, Z
Ω
fk dµ
est dans R+ donc positif. Par conséquent la suite
n
X
k=0
Z
Ω
fkdµ
!
n∈N
est croissante donc convergente dans R+ et sa limite est
+∞
X
k=0
Z
Ω
fkdµ
! .
Le second membre de (2) converge ainsi vers celui de (1). L'égalité (2) étant vraie pour tout n >1nous donne donc l'égalité (1) par passage à la limite.
Solution Exercice 20
Énoncé : Soit X : (Ω, A, P)−→R une variable aléatoire à valeurs positives ou nulles.
1. Montrer que E[X] = Z ∞
0
P(X >t)dt.
2. Plus généralement, montrer que si f : R −→ R est croissante, dérivable et vérie f(0) = 0 alors E[f(X)] =
Z ∞
0
f0(t)P(X >t)dt. à suivre ....
2
