Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017

Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY

Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3

TD 9 : 01/03/2017

Correction suite Exos Vecteurs aléatoires

Solution Exercice 28

Énoncé : Soit (X, Y) un couple de densité jointe f(x, y) =exp(−(x+y)) si x >0 et y >0. Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire ^X_Y .

On dénit : D={(x, y)∈R² tel que x >0, y >0 et x < ty}

F₍^X

Y)(t) =P X

Y 6t

=P(X 6tY) = Z

D

f(x, y)dxdy= Z

D

e^−(x,y)dx dy = Z

D

e^−xe^−ydxdy

= Z +∞

0

Z ty

0

e^−xe^−y dx dy.

On remarque que le fonction f(x, y) est mesurable positive, donc par application du théorème de Fubini-Tonelli nous avons :

F₍^X

Y)(t) = Z +∞

0

Z ty

0

e^−xe^−y dx dy= Z +∞

0

e^−y Z ty

0

e^−xdx

dy

= Z +∞

0

e^−y

−e^−xty 0 dy=

Z +∞

0

e^−y 1−e^−ty dy

= Z +∞

0

e^−y−e^−(1+t)y dy

= 0−

−1 + 1 1 +t

= 1− 1

1 +t = 1 +t−1 1 +t = t

1 +t. ∀t∈R+

Solution Exercice 29 Soit

f(x, y) =

k(y²−x²+ 1) si (x, y)∈[0,1]×[0,1]

0 sinon

où k est un paramètre réel.

1

1. On observe que pour tout k ∈ R+, f est une fonction mesurable, positive. D'autre part

Z

R²

f(x, y)dxdy =k Z 1

0

Z 1

0

y²−x²+ 1

dydx =k Z 1

0

y³

3 −yx² +y 1

0

dx

=k Z 1

0

1

3 −x²+ 1

dx=k 4

3x− x³ 3

1

0

=k 4

3 −1 3

=k Par suite f(x, y)est une densité de Probabilité ssi k = 1.

2. Nous avons Z

R²

f(x, y)dxdy =k Z 2

0

Z 2

0

(y²−x²+ 1)dydx=k Z 2

0

8

3 −2x²+ 2

dx

=k 8

3x−2x³ 3 + 2x

2

0

=k 16

3 − 16 3 + 4

= 4k

Donc Z

R²

f(x, y)dxdy ssi k= ¹₄.

Par contre, ∀(x, y)∈[0,2]×[0,2] la fonctionf(x, y) = ¹₄(y²−x²+ 1)∈[−3,5]. Par conséquent f n'est pas une densité de probabilité.

Solution Exercice 30

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires de loi de densité f(x, y) =e^−y 1{y>x>0}.

1. f est une densité de probabilité. En eet, f(x, y) est une fonction continue positive

∀(x, y)∈R². De plus Z

R²

f(x, y)dxdy = Z

R

Z

R

e^−y1{y>x>0}dxdy= Z +∞

0

Z 0

0

e^−ydx

dy

= Z +∞

0

e^−y Z y

0

dx

dy= Z +∞

0

ye^−ydy= 1.

2. Loi marginale de X f_X(x) =

Z

R

f(x, y)dy= Z

R

e^−y1{y>x>0}dy= Z +∞

x

e^−ydy =e^−x1^{x>0}

Loi marginale de Y f_Y(y) =

Z

R

f(x, y)dx= Z

R

e^−y1{y>x>0} =e^−y Z y

0

dx=ye^−y1{y>0}

On constate quef_Y(y)f_X(x)6=f_(X,Y)(x, y), doncX etY ne sont pas indépendantes.

2

3. La formule de Bayes donne

P (X 61|Y >2) = P({X 61} ∩ {Y >2}) P(Y >2) . Par des calculs intégrales, nous avons

P(Y >2) = Z +∞

2

fY(y)dy= Z +∞

2

ye^−y1^{y>0}dy= 3e⁻².

Et

P({X 61} ∩ {Y >2}) = Z 1

−∞

Z +∞

2

e^−y1{y>x>0}dydx = Z 1

−∞

Z +∞

2

e^−y1{y>x>0}dy

dx

= Z 1

−∞

Z

{y∈[2,+∞[ety∈[x,+∞[}

e^−ydy

dx

Posons l'intégrale I(x) = Z

{y∈[2,+∞[ety∈[x,+∞[}

e^−ydy

et notons le domaine : D={(x, y)∈R²+ tel que y∈[2,+∞[ ety ∈[x,+∞[}.Il est clair que

Si x >2⇒ D= [x,+∞[. Si 0< x62⇒ D= [2,+∞[. Par suite,

I(x) = Z +∞

x

e^−y1^{x>2}dy+ Z +∞

2

e^−y1{0<x<2}dy=1^{x>2}e^−x+e⁻²1{0<x<2}.

On montre donc

P({X 61} ∩ {Y >2}) = Z 1

−∞

e^−x1^{x>2}dx+ Z 1

−∞

e⁻²1{0<x<2}dx= 0 + Z 1

0

e⁻²dx=e⁻²

On conclut que

P(X 61/Y >2) = e⁻² 3e⁻² = 1

3

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