Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017
Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY
Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3
TD 14 : 22/03/2017
Correction suite Exos Vecteurs aléatoires
Solution Exercice 41 (Simulation de variables gaussiennes (algorithme de Box- Müller))
Énoncé : Soient U1 et U2 deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0,1]. Montrer que les variables aléatoires dénies par
X =p
−2 log(U1) cos(2πU2), Y =p
−2 log(U1) sin(2πU2).
sont indépendantes et de même loi N(0,1)).
On se rappelle que pour identier la loi d'une variable aléatoire, il sut de savoir calculer les espérances de fonctions de cette variables aléatoires (pour toute fonction dans un ensemble de fonctions tests). Notons :
G=
(u, v)∈R2 tel que u∈]0,1]×v ∈[0,1] .
Nous prenons donc ϕ∈Cb+(R2)est l'ensemble des fonctions positives, continues, bornées de R2 dans R:
E(ϕ(X, Y)) =E
ϕp
−2ln(U1) cos(2πU2),p
−2ln(U1) sin(2πU2)
.
= Z
G
ϕp
−2ln(u) cos(2πv),p
−2ln(u) sin(2πv)
fU1,U2(u, v)du dv
= Z
G
ϕp
−2ln(u) cos(2πv),p
−2ln(u) sin(2πv)
fU1(u)fU2(v)du dv
= Z
G
ϕp
−2ln(u) cos(2πv),p
−2ln(u) sin(2πv)
.1du dv
Nous eectuons le changement de variable suivant : r=p
−2ln(u), θ = 2πv ∀ u∈]0,1]×v ∈[0,1].
L'application
g1 : G=]0,1]×[0,1] −→H =R+×[0,2π]
(u, v) 7−→(r, θ) =p
−2ln(u),2πv
1
est une bijection de classe C1 de réciproque
g1−1 : H=R+×[0,2π] −→G=]0,1]×[0,1]
(r, θ) 7−→(u, v) =
e−r
2 2 ,2π
θ
. Nous obtenons la matrice jacobienne
g1(r, θ) =
∂r
∂u
∂r
∂v
∂θ
∂u
∂θ
∂v
=
−1 u√
−2 ln(u) 0
0 2π
,
de déterminant J acg1 = |det(g1)| = 2π
u√
−2log(u). Donc dr dθ = |det(g1)|du dv. Par conséquent
du dv= up
−2log(u)
2π dr dθ= |r|e−r22
2π dr dθ= re−r
2 2
2π dr dθ
Le jacobien de g1 ne s'annule jamais sur G. Il découle de la formule du changement de variable que
E(ϕ(X, Y)) = Z
G
ϕp
−2ln(u) cos(2πv),p
−2ln(u) sin(2πv) du dv
= Z
R+×[0,2π]
ϕ(rcos(θ), rsin(θ))re−r
2 2
2π dr dθ Nous eectuons maintenant à nouveau le changement de variable
x=rcos(θ), y=rsin(θ) r∈R+, θ ∈[0; 2π]
(c'est le passage usuel en coordonnées polaires). Nous obtenons la matrice jacobienne
g2(x, y) =
∂x
∂r
∂y
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
=
cos(θ) sin(θ)
−rsin(θ) rcos(θ)
,
de déterminant det(g2) = rcos2(θ) +rsin2(θ) = r. Donc dxdy=rdrdθ.
E(ϕ(X, Y)) = Z
R+×[0,2π]
ϕ(rcos(θ), rsin(θ))re−r
2 2
2π dr dθ = Z
R2
ϕ(x, y)e−(x2+y2)/2 2π dxdy.
On conclut que la densité du couple (X, Y)vérie :
f(X,Y)(x, y) = e−(x2+y2)/2
2π .
Par un calcul intégrale, nous trouvons les lois marginales de X et Y :
fX(x) = Z
R
f(X,Y)(x, y)dy = Z
R
e−(x2+y2)/2
2π dy= e−(x2)/2
√2π Z
R
e−(y2)/2
√2π dy= e−(x2)/2
√2π
2
et
fY(y) = Z
R
f(X,Y)(x, y)dx = e−(y2)/2
√2π Z
R
e−(x2)/2
√2π dx= e−(y2)/2
√2π
Il est clair que f(X,Y)(x, y) = fX(x)fY(y) On montre donc X et Y sont deux variables indépendantes de même loi N(0,1).
Remarque : Pour simuler une variableX de loiN(0,1), il sut donc de prendre U1, U2 ∼U([0,1]) indépenantes et poser X =p
−2log(U1) cos(2πU2). Pour simuler une variable X de loi N(µ, σ2), il sut de prendre X =µ+σY avec Y ∼N(0,1).
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