Aucun document autorisé Exercice 1 Soit Un une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans l’ensemble E avec P(Un = 1

Université Paris 6– Licence de Mathématiques- Module LM346–

Examen du 26 juin 2007

Durée 2h. Aucun document autorisé

Exercice 1 Soit U_n une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans l’ensemble E = {0,−1,1} avec P(U_n = 1) = p, P(U_n= 0) =r,P(U_n =−1) = q, ces trois paramètres vérifiant p+q+r = 1 et p > 0, q > 0. On suppose que cette suite est aussi indépendante d’une variable aléatoireX₀ à valeurs dansE. On considère la suiteX_n définie pour n ≥1par X_n =X₀Qn

k=0U_k.

1) Montrer que X_n est une chaîne de Markov à valeurs dans E et donner sa matrice de transition P.

2) Cette chaîne est-elle toujours irréductible ? Sinon, préciser ses classes de récurrence.

3) Trouver la (les) probabilités invariante(s) (on distinguera les cas r= 0 et r 6= 0).

4) On se place dans le cas r = 0.

4.a) En étudiant les propriétés de la chaîne restreinte à l’ensemble F = {−1,1}, trouverlimn→∞Qⁿ(i, j)pouri, j ∈F et en déduire la matrice limite de Qⁿ soit Π dans ce cas. Quelle est la loi limite de Xn si X0 a pour loi µ= (α, β, γ)?

4.b) Est-il vrai que ^X0+···+X_n ⁿ convergeP-p.s ? Si oui, déterminer cette limite.

Exercice 2 On se propose dans cet exercice de comparer, sur un exemple simple, deux méthodes probabilistes pour calculer une intégrale.

1) Méthode du rejet. Soient D ⊂ D⁰ ⊂ R^m des ensembles mesurables et Zn, n ≥ 1 une suite de variables aléatoires uniformément distribuée sur D⁰ (c’est-à-dire de densité (1/v(D⁰))1_D⁰(·)) où v désigne la mesure de Lebesgue m-dimensionnelle). On note A_n= #{1≤k ≤n, Z_n ∈D}

1.a) Comment peut-on calculer le volume v(D) de D au moyen de la suite An? Comment choisir n pour que l’erreur commise sur v(D)soit inférieur à = 10⁻³ avec probabilité supérieure à 0.95 ? SiD⁰ est le cubem-dimensionnel [0,1]^m combien d’appels à la fonction "random" doit-on effectuer ? (On de- mande des équivalents denet du nombreN d’appels en fonction dev(D), v(D⁰), .) 1.b) Notonsf : [0,1]→[0,∞)une fonction continue dont la valeur maximale sur [0,1]estc, µun réel plus grand que cet

I = Z 1

0

f(x)dx.

Soient X_n, U_n,n ≥1deux suites de variables aléatoires réelles uniformément distribuées sur[0,1]telles que la suiteX₁, U₁, X₂, U₂, . . . , X_n, U_n,· · · soit une suite de v.a. indépendantes. On définit par récurrence la suite de variables aléatoires I_n,n ≥0par I₀ = 0 et

( I_n+1 =I_n+ 1 si µU_n ≤f(X_n) I_n+1 =I_n sinon

Expliquer comment et pourquoi on peut calculer la valeur de l’intégraleI au moyen de la suite I_n. (On utilisera les résultats du 1.a)

1.c) Calculer le nombre d’appels à la fonction "random" pour que l’amplitude de l’intervalle de confiance à 95% soit inférieur à = 10⁻³.

2) Méthode de Monte Carlo. Soient f : [0,1]→[0,∞) une fonction continue d’intégrale I et X_n, n≥1 une suite de variables aléatoires réelles uniformé- ment distribuées sur [0,1]et indépendantes.

2.a) Expliquer comment et pourquoi on peut calculer la valeur de l’intégrale I au moyen de sommes des v.a f(X_n).

2.b) Calculer le nombre d’appels à la fonction "random" pour que l’amplitude de l’intervalle de confiance à 95% soit inférieur à = 10⁻³.

3) Comparer l’efficacité des deux méthodes dans le cas du calcul de I.