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Chapitre 12 : Topologie de l’ensemble R

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Academic year: 2022

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Université Paris Dauphine Année universitaire 2013-2014

Première année DEGEAD Cours-TD de MR. BEY

Analyse Réelle, Optimisation libre et sous contrainte Groupes 12 & 17

Cours 8 : 23/10/2013

Chapitre 12 : Topologie de l’ensemble R

2

1. Boules.

2. Frontière d’un sous-ensemble.

3. Ouverts, fermés.

4. Sous ensembles bornés - Compacts.

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Solutions TD 8

Exercice 1.41

1. A: est un ensemble constitu´e des trois points, il est donc ferm´e et il est born´e par la boule B{(0,0),1}

2. B = {(x, y) ∈ R2 : 4 ≤ (x − 1)2 + (y + 2)2 ≤ 5}: c’est la couronne de centre (1,−2) comprise entre le cercle de rayon 2 et le cercle de rayon 5, avec la fronti`ere (in´egalit´e large), il est donc ferm´e. Il est born´e par la boule la B{(1,−2),5}

3. C = {(x, y) ∈ R2 : (x−1)2 +y2 < 4 ou x2+ (y −1)2 < 4} est l’ensemble des points dans le disque centr´e en (1,0) de rayon 2, et dans le disque centr´e en (0,1) de rayon 2, sans leur fronti´eres (in´egalit´e stricte), est un ensemble ouvert.

4. D =R/{0,0} est un ouvert, puisque son compl´ementaire {0,0} est un ferm´e.

5. E ={(x, y)∈ R2 :)−1 ≤ x≤1,0< y < 2}, est ni ouvert, ni ferm´e.

Exercice 2.14

On regarde le graphs dans les figures 1 pour l’ensemble A, 2 pour l’ensemble B et 3, pour l’ensemble C.

1

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Figure 1: Ex.2.14, A est la region en violet et elle est pas born´e

2

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Figure 2: Ex.2.14, l’ensemble B est le disque ouvert sans la fronti`ere, il est born´e par le disque ferm´e

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