2. Directiond’accroissementoptimald’unefonction. 1. Équationsdestangentesauxcourbesdeniveau. Cours20:09/12/2013Chapitre24:Propriétésdugradient UniversitéParisDauphineAnnéeuniversitaire2013-2014PremièreannéeDEGEADCours-TDdeMR.BEYAnalyseRéelle,Optimisationl

Université Paris Dauphine Année universitaire 2013-2014

Première année DEGEAD Cours-TD de MR. BEY

Analyse Réelle, Optimisation libre et sous contrainte Groupes 12 & 17

Cours 20 : 09/12/2013

Chapitre 24 : Propriétés du gradient

1. Équations des tangentes aux courbes de niveau.

2. Direction d’accroissement optimal d’une fonction.

Solutions TD 20

Extrema libres des fonctions de deux variables Exercice 1.67

a) U est fraction rationelle (c’est-`a-dire les quotients de deux polynˆomes), donc de classe C<sup>1</sup> sur le sous-ensemble de R<sup>2</sup> o`u son d´enominateur ne s’annule pas D_U ={(x, y)∈ R:x+y 6= 0}, et D_U ⊂ D donc U est de classe C¹ sur D.

b) Si k 6= 0, la courbeC_k de niveau k a pour ´equation: _x+y^2xy =k, ce qui s’´ecrit aussi:

y = _2x−k^kx avec k6= 2x.

Soit M0 = (4,2) ∈ Ck, alors k = ^2×₄₊₂^4×2 = 8/3. La tangente `a la courbe C_8/3 au point (4,2) a pour ´equation:

∂U(4,2)

∂x (x−4) +∂U(4,2)

∂y (y −2) = 0 pour ^∂U(4,2)_∂x = 2/9 et ^∂U_∂y^(4,2) = 8/9

(x−4) + 4(y−2) = 0 alors 4y+x−6 = 0

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