ECS1
Exercices: Variables aléatoires à densité
Exercice 1. On considère une variable aléatoire continueX de loi exponentielle de paramètreλ >0. 1. Quelle est sa médiane (la valeur dextelle queFX(x) =12) ?
2. On suppose que la durée d'une conversation téléphonique en minutes suit une loi exponentielle d'espérance 10.
(a) Vous arrivez à une cabine dans laquelle quelqu'un vient d'entrer ; avec quelle probabilité devrez-vous attendre plus de 10 min ?
(b) Vous êtes arrivés depuis 15 min. Quelle est la probabilité que vous attendiez (en tout) plus de 25 min ?
Exercice 2. Soitα >2. On considère la fonctionf dénie par :
f(x) = α−1
xα si x>1 0 si x <1 1. Montrer quef est une densité de probabilité d'une variableX. 2. Déterminer la fonction de répartitionFX.
3. Calculer l'espérance deX.
Exercice 3. SoitF la fonction dénie surRparF(x) = ex
ex+e−x. Montrer queFest la fonction de répartition d'une variable à densitéZ dont on donnera une densité.
Exercice 4. SoitY une variable à densité suivant une loi uniforme surh
−π 2,π
2
i. Montrer queX = tan(Y)est une variable à densité dont on étudiera l'espérance.
Exercice 5.
1. Soitλ >0,Z une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètreλetFZ sa fonction de répartition. On admet queY =FZ(Z)est une variable aléatoire à densité, déterminer sa loi.
2. SoitX une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartitionFX est une bijection continue stricte- ment croissante et de classeC1 sur Rà valeurs dans[0,1]. On admet que Y =FX(X)est une variable aléatoire à densité, déterminer sa loi.
Exercice 6. SoitF la fonction dénie surRpar :
F(t) =
1−exp
−t2 2
sit>0 0 sit <0
1. (a) Montrer queF est la fonction de répartition d'une variable aléatoireT à densité.
(b) Déterminer une densitéf deT.
2. On pose pour tout réelAstrictement positifI(A) = Z A
0
t2e−t2/2dt. On noteΦla fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
(a) Établir la relation :
I(A) =−Ae−A2/2+√ 2π
Φ(A)−1 2
. (b) En déduire la limite deI(A)en+∞.
(c) Calculer l'espérance deT
Exercice 7. 1. Pour toutn∈N, on pose
Jn = Z 2π
0
xncos(x)dx, In= Z 2π
0
xnsin(x)dx.
(a) Justier l'existence deIn et de Jn.
(b) Montrer queIn+1= (n+ 1)Jn−(2π)n+1et Jn+1=−(n+ 1)In, pour toutn. (c) CalculerIn etJn pournégal à 0, 1, 2 et 3.
2. Soitf la fonction dénie par f(x) = x
2π2(1−cos(x))sur[0,2π]et nulle ailleurs.
(a) Montrer quef est une densité d'une variableX. (b) Déterminer la fonction de répartition deX.
(c) DéterminerE(X)si elle existe.
(d) Calculer les probabilités suivantes à l'aide deF :P X > π2,P |X−π|6 π2
,P[X63π
2] X > π2
. Exercice 8. Soitpun réel de]0,1[etq= 1−p. Soitλetµdeux réels strictement positifs. Soitf la fonction dénie surRpar :
f(x) =
qλe−λx six>0 pµeµx six <0. 1. Vérier quef est une densité de probabilité.
2. SoitX une variable aléatoire dénie sur un espace probabilisé(Ω,A, P), dontf est une densité. Calculer l'espéranceE(X).
3. (a) Déterminer les valeurs dep, λet µtelles queX vérie : pour toutx>0, P(X > x) =P(X <−x).
(b) On pose alorsY =|X|. Déterminer la loi de Y.
(c) A-t-on, pour tout réelset pour tout réelt tel quet>s,
P[Y >s](Y > t) =P(Y > t−s)?
4. Déterminer la fonction de répartitionF deX, puis son inverseF−1. Exercice 9. (Dicile)
1. Soit Z une variable aléatoire réelle à valeurs dans ]0,1[, possédant une densité g continue sur ]0,1[. Montrer queZ possède une espérance. On suppose que pour toutx∈]0,1[,g(1−x) =g(x). Quelle est, dans ce cas, l'espérance deZ?
2. (a) Montrer que la fonctionx→sin(x)réalise une bijection deh
−π 2,π
2
isur[−1,1]. On noteϕsa bijection réciproque. Montrer que la fonctionϕest dérivable sur]−1,1[et calculer sa dérivée.
(b) SoitI= Z 1
0
dx
px(1−x). Montrer que cette intégrale converge et la calculer en utilisant un changement de variables ane.
3. Montrer que la fonctionf dénie surRpar :
f(x) =
1 πp
x(1−x) si0< x <1
0 sinon
est une densité de probabilité. SoitX une variable aléatoire réelle admettantf pour densité. Déterminer E(X)en utilisant la première question. Retrouver ce résultat en utilisant la dénition de l'espérance et le changement de variablex= (sin(θ))2.
