Facult´e des Sciences et Techniques de Limoges Ann´ee 2005-2006
Statistiques S2 Feuille d’exercices 2 Exercice I
En terminant d’effeuiller la marguerite, on compte :
1 point pour un peu, 3 points pourbeaucoup, 5 points pourpassionn´ement, 10 points pour `a la folie, 0 point pour pas du tout.
On effeuille successivement deux marguerites. Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre de points obtenus avec la premi`ere marguerite. SoitY la variable al´eatoire ´egale au plus grand des deux nombres obtenus.
1. D´eterminez la loi du couple (X, Y).
2. Pr´ecisez les lois marginales deX etY. Les variables al´eatoiresX etY sont-elles ind´ependantes ? 3. D´eterminez la distribution de probabilit´e deZ =X+Y.
4. D´eterminez la distribution de probabilit´e deT =XY.
5. Calculez E(X),V(X),E(Y),V(Y),E(Z),V(Z),E(T),V(T), Cov(X, Y),r.
Exercice II
Une avenue comporte 5 intersections munies chacune d’un feu tricolore. pour chacun de ces feux, le vert dure 30 secondes, l’orange 5 secondes et le rouge 15 secondes.
1. Pour l’automobiliste qui aborde la premi`ere intersection, quelle est la probabilit´e que le feu soit au vert ? `a l’orange ? au rouge ?
Quelle est la probabilit´e de s’arrˆeter en respectant le code de la route ?
2. On suppose les feux non synchronis´es, c’est-`a-dire `a fonctionnement ind´ependant. L’automobi- liste devant parcourir toute l’avenue, le nombre d’arrˆets d´efinit une variable al´eatoire X.
(a) D´eterminez la loi de probabilit´e de X.
(b) D´eterminez la probabilit´e des ´ev´enements suivants : - l’automobiliste ne s’arrˆete aucune fois ;
- l’automobiliste s’arrˆete au moins une fois ; - l’automobiliste s’arrˆete aux 5 feux.
3. La dur´ee de l’orange et du rouge ´etant inchang´ee, quelle devrait ˆetre la dur´ee du vert pour que l’automobiliste ait une probabilit´e sup´erieure `a 0,5 de ne pas s’arrˆeter en parcourant toute l’avenue ?
Exercice III
1. On propose un questionnaire comprenant 10 questions qui comportent chacune 2 r´eponses pos- sibles, l’une vraie, l’autre fausse. Pour tester si la personne interrog´ee essaie de deviner les r´eponses ”au hasard”, on adopte la r`egle suivante :
-si 7 r´eponses, ou plus, sont bonnes, on admet que la personne interrog´ee n’a pas essay´e de
”deviner au hasard” ;
- sinon, on admet la conclusion contraire.
Quelle est la probabilit´e pour qu’une personne r´epondant au hasard donne 7 bonnes r´eponses, ou plus ?
2. Que devient cette probabilit´e lorsque chacune des questions pos´ees comporte 3 r´eponses dont une seule est vraie ?
Exercice IV
La proportion normale de polynucl´eaires basophiles est de 0,5 pour cent leucocytes.
Quelle est la probabilit´e de n’en trouver aucun parmi 200 leucocytes observ´es dans ces conditions ?
Exercice V
Dans une population tr`es nombreuse, des ´etudes r´eguli`eres ont montr´e qu’il y avait 2% d’individus du type A.
Calculer la probabilit´e, dans un ´echantillon de 100 individus tir´es au hasard, d’obtenir : 1. aucun individu du type A;
2. au moins 2 individus du type A.
